Апология математики (сборник статей)

Мы (и притом в приблизительном виде) привели здесь синтаксическую версию теоремы Гёделя, не апеллирующую к представлению об истинностном значении утверждения. (Подлинная формулировка самого Гёделя была именно синтаксической.) Придирчивый читатель справедливо заметит, что в таком случае сам термин «утверждение» не вполне уместен, ведь при его использовании обычно подразумевается, что всякое утверждение имеет истинностное значение в двузначной логике, т. е. является либо истинным, либо ложным. И действительно, для полной строгости следовало бы говорить не об утверждениях, а о формулах специального вида (иногда их называют предложениями), начинающих выражать утверждения после того, как формулы рассматриваемой теории наделяются семантикой, а точнее, истинностными значениями. Полезно понимать, что такое наделение формул семантикой не всегда возможно. Прежде всего это невозможно для теории множеств в её полном объёме. В самом деле, вряд ли уместно говорить об истинности или ложности, скажем, аксиомы выбора или гипотезы континуума. Для менее амбициозных теорий, не претендующих на то, чтобы сравняться глобальностью с теорией множеств, – в частности, для арифметики, – наполнение их формул двузначной семантикой оказывается возможным. А тогда при естественном предположении, что доказать можно лишь формулы, выражающие истинные утверждения, из синтаксической версии теоремы Гёделя легко получается её семантическая версия: при любой разумной попытке формализовать понятие доказательства неизбежно обнаруживаются утверждения, которые, будучи истинными, не допускают доказательства в рамках избранной формализации.

Отметим, что утверждения, о которых идёт речь в теореме Гёделя, отнюдь не следует искать в заоблачных математических высях. Нет, они суть утверждения об обычных натуральных числах. Теорема Гёделя о неполноте была первым строго установленным фактом той самой теории математического познания, о которой Колмогоров говорит выше, в разделе I своей статьи. Она явилась как гром среди ясного неба: никто и вообразить не мог, что подобные результаты вообще возможны. Тем более что она явилась на фоне другой теоремы, ненамного ранее также полученной Гёделем, но, напротив, вполне ожидаемой – теоремы о полноте, содержание коей состоит в подтверждении мощи той формализации процедуры логического доказывания, которую ещё в конце XIX в. предложил «отец математической логики» Готлоб Фреге. А именно: теорема о полноте утверждает, что любое предложение, которое логически не противоречит данной теории, истинно в некоторой модели этой теории.

Приложение II П. К. Рашевский. О догмате натурального ряда

От публикатора

Пётр Константинович Рашевский [14 (27).07.1907 – 13.06.1983] эволюционировал в моём сознании от уважаемого специалиста в области дифференциальной геометрии к глубокому философу математики. Не могу вспомнить, на каком курсе, третьем или четвёртом, в мои студенческие годы на мехмате МГУ нам преподавали дифференциальную геометрию. Если на третьем, то я слушал лекции по этому учебному предмету в 1949/50 учебном году, а если на четвёртом – то в году 1950/51. Параллельно для разных учебных групп читали два курса. Один читал профессор Сергей Павлович Фиников [03 (15).11.1883 – 27.02.1964], другой – профессор Рашевский. Кому как повезёт. Мне повезло: я оказался в одной из тех групп, которым было положено слушать Рашевского. Нашему курсу он запомнился, в частности, тем, что приходил на лекции в форме с полковничьими погонами, но не военными, а гражданскими, железнодорожными или связистскими (если вторые существовали). Говорили, что параллельно с университетом он преподаёт в каком-то техническом учебном заведении.