Апология математики (сборник статей)

15. Вот яркий пример. При помощи аксиомы Цермело удаётся доказать следующую теорему, не укладывающуюся в привычные рамки геометрической интуиции: существует такое разбиение шара на конечное число частей, что, передвигая эти части в пространстве, из них можно сложить два таких же шара. (Для ясности: под шаром понимается самый обычный шар в трёхмерном евклидовом пространстве, а под движением – преобразование, составленное из поворотов и параллельных переносов.) Кажется, что эту теорему можно легко опровергнуть, произведя подсчеты объёмов, но всё дело в том, что каждая из частей разбиения отнюдь не является «сплошной», а представляет собою множество точек, настолько прихотливо расположенных, что оно, это множество, не имеет объёма (на точном математическом языке не является измеримым). Указанную теорему получили в 1924 г. польские математики Банах и Тарский, и сформулированное в ней утверждение принято называть парадоксом Банаха – Тарского.

Парадокс Банаха – Тарского может быть усилен в двух направлениях. Во-первых, как исходный шар, так и результирующая пара шаров могут быть заменены на произвольные множества из обширного класса множеств. А именно: пусть А и В суть два множества в трёхмерном евклидовом пространстве, каждое из коих ограничено и обладает непустой внутренностью; тогда существует такое разбиение множества А на конечное число частей, что, передвигая эти части, из них можно сложить множество В. Говоря образно, бильярдный шар можно разломать на конечное число частей и затем сложить из этих частей планету или – при другом способе разламывания – цветок (разумеется, в подобного рода метафорических иллюстрациях словосочетанию «можно разломать» не следует придавать буквального физического смысла). Во-вторых, если в качестве А взять шар, а в качестве В – пару конгруэнтных с А шаров, то для переделки А в В достаточно разбить А на пять частей (меньшего числа частей уже недостаточно). Доказательства этих двух усилений можно найти, например, в интернете, в статье Francis Е. Su «The Banach – Tarski Paradox» (http://www.math.hmc.edu/~su/papers.dir/banachtarski.pdf, см. там соответственно теоремы 14 и 20). Вообще, парадокс Банаха – Тарского достаточно освещён в литературе; среди публикаций выделяются энциклопедическая монография S. Wagon «The Banach – Tarski paradox» (Cambridge etc., 1985. XVI. 251 p.) и популярная статья R. M. French «The Banach – Tarski Theorem» (The Mathematical Intelligencer. 1988. Vol. 10. № 4. Pp. 21–28).

16. И действительно, как показал в 1970 г. Соловей (Solovay), такая точка зрения (все множества измеримы) не может привести к противоречию. Вместе с тем ещё за 20 лет до этого П. С. Новиков построил точечное множество (так называемое второе множество Новикова), относительно которого непротиворечиво полагать, что оно неизмеримо. (В подобных результатах «построить объект» понимается в смысле 'указать имя объекта в языке теории множеств', так что использование аксиомы Цермело не допускается.)

17. При доказательстве указанных в комментарии 12 общеизвестных фактов из математического анализа необходим лишь ослабленный случай общего принципа, постулирующий существование требуемого множества в ситуации, когда рассматриваемая коллекция множеств счётна. Этот частный принцип носит название счётной аксиомы выбора; именно без этой счётной аксиомы и нельзя обойтись при изложении начальных глав анализа.

Приведём для контраста пример использования континуальной аксиомы выбора, когда выбор элементов осуществляется применительно к континуальной коллекции множеств. А именно с опорой на эту аксиому докажем такую теорему: если объединение двух множеств континуально, то хотя бы одно из этих множеств континуально. (Стандартное доказательство основано на наделении континуума порядком, превращающим его во вполне упорядоченное множество, что, в свою очередь, требует применения аксиомы выбора к коллекции, мощность которой превосходит континуальную.)

В силу теоремы Кантора – Бернштейна достаточно доказать, что если плоскость представлена как объединение двух множеств, то хотя бы одно из слагаемых содержит континуальное подмножество; это и будем доказывать. Если какая-то из вертикальных прямых целиком содержится в первом слагаемом, то она и образует искомое подмножество первого слагаемого. Если же это не так, то на каждой вертикали найдётся точка из второго слагаемого; континуальная аксиома выбора позволяет выбрать на каждой вертикали ровно по одной такой точке; выбранные точки образуют искомое подмножество второго слагаемого.