Апология математики (сборник статей)

Проблема – это всегда требование что-то найти, указать, предъявить. Это «что-то» может иметь самую различную природу; этим «чем-то» может быть ответ на заданный вопрос, законопроект, доказательство теоремы, число (при решении уравнений), последовательность геометрических построений (при решении геометрических задач на построение). Опыт математики позволяет провести чёткую грань между проблемами нерешёнными и проблемами нерешимыми. Первые ждут своего решения, вторые же решения не имеют и иметь не могут, у них решения просто-напросто не существует. Вот одна из наиболее знаменитых нерешённых проблем: дать ответ на вопрос, есть ли жизнь на Марсе. А вот два простых примера нерешимой проблемы: указать целое число, квадрат которого равен 17; указать наибольшее целое число.

К числу нерешённых долгое время относилась проблема Ферма. В математике таких проблем много, но понять формулировки абсолютного большинства из них может лишь тот, кто получил специальное образование. Нерешённых проблем с простыми формулировками гораздо меньше. Из них наиболее известны, пожалуй, четыре обсуждаемые ниже проблемы теории чисел: две проблемы совершенных чисел и две – чисел простых. Теория чисел (в ортодоксальном понимании этого термина) занимается только положительными целыми числами. Поэтому только такие числа разумеются в данной главе под словом «число». Желание сделать текст понятным как можно более широкому кругу читателей побуждает нас для начала напомнить некоторые определения и факты, каковые теоретически должны быть известны из курса средней школы.

Напоминание: делимость, чётность и простота

Некоторые числа нацело делятся на другие. Предлагаем читателю дать по возможности строгую, недвусмысленную формулировку того, чтó это значит – число a делится на число b. Математик ответит так: говорят, что (вариант: по определению) число a делится на число b, если (вариант: коль скоро) существует такое число s, которое в произведении с числом b даёт число a:

a = b · s.

Например, 48 делится на 1, 2, 3, 16, 48 и ряд других чисел. Всякое число делится на единицу и на само себя (почему?). Выражение «a делится на b» имеет тот же смысл, что и «b является делителем числа a»; так что 1, 2, 3, 16, 48 и некоторые другие числа являются делителями числа 48. Ясно, что делитель не может быть больше того числа, делителем которого он является. Если a делится на b, а b делится на c, то и a делится на c. Попробуйте это доказать исходя из определения слова «делится». Никакие два соседних числа (т. е. n и n +1) не могут делиться на одно и то же число, кроме как на единицу (почему?). Числа, делящиеся на 2, называются чётными, все остальные – нечётными. В натуральном ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,… нечётные и чётные числа чередуются друг с другом. Сумма любого количества чётных чисел есть чётное число (почему?). А вот при суммировании нечётных чисел чётность результата зависит от чётности количества слагаемых: если это количество чётно, то и сумма будет чётным числом, а если оно нечётно, то и сумма окажется нечётной (почему?).

Число называется простым, если обладает двумя свойствами: во-первых, оно больше единицы; во-вторых, оно не имеет других делителей, кроме единицы и самого себя. Вот первые 7 простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Упражнение для читателей: найдите несколько следующих простых чисел. (И ещё одно упражнение: ответьте на вопрос, сколько существует чётных простых чисел.) Числа, бóльшие единицы и не являющиеся простыми, называются составными.

Две проблемы о совершенных числах

Число 6 делится на 1, на 2, на 3 и на 6 – эти числа 1, 2, 3, 6 образуют полный список делителей числа 6. Если из этого списка удалим само число 6, а остальные сложим, получим то же самое число 6. Действительно, 1 + 2 + 3 = 6. Тем же свойством обладает число 28. Его делителями служат числа 1, 2, 4, 7, 14, 28, и только они. Если их все, кроме 28, сложить, получим как раз 28: действительно, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. В VI в. до н. э. это редкое свойство чисел вызывало мистический восторг у Пифагора и его учеников: по их мнению, оно свидетельствовало об особом совершенстве числа, обладающего таким свойством. А потому каждое число, совпадающее с суммой всех своих делителей, отличных от самого этого числа, получило титул совершенного. Мистический восторг пифагорейцев перед совершенством совершенных чисел продолжался и в учениях христианских отцов церкви. В V в. Блаженный Августин писал в сочинении «Град Божий»: