Апология математики (сборник статей)

Иван Михеевич Первушин [21.01 (02.02) 1821 – 17 (30).06.1900] достоин того, чтобы о нём рассказать подробнее. В 1838 г. он поступил в Пермское духовное училище, в 1842 г. был переведен в Пермскую духовную семинарию, где впервые и обнаружилась его склонность к занятиям математикой. С переходом его в 1848 г. в Казанскую духовную академию пристрастие к математике усилилось, и присутствовавший на экзамене в академии П. Л. Чебышёв просил обратить внимание на молодого человека. На первых порах всё шло хорошо. По окончании академии Первушин был направлен в семинарию, которую окончил, где стал преподавать математику. Однако с 1856 г. и до своей кончины с небольшим перерывом на служение в уездном городе Шадринске Первушин был сельским священником. Известный уральский краевед Владимир Павлович Бирюков писал, что назначение лица, окончившего духовную академию, в сельскую церковь можно сравнить с назначением профессора учителем деревенской школы. Причину «административной ссылки» Бирюков видит в прямом и насмешливом характере Первушина.

Конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна? Этот вопрос, как мы знаем, равносилен вопросу о конечности или бесконечности множества чётных совершенных чисел и потому ждёт своего ответа. На октябрь 2014 г. было известно 48 простых чисел Мерсенна – ровно столько же, сколько известно чётных совершенных чисел. Наибольшее найденное простое число Мерсенна – это число М57885161. Оно и было наибольшим найденным к тому времени простым числом.

Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов поставил в своё время Эйлер, найдя простое число 2³¹ – 1 = 2 147 483 647.

Наибольшим известным простым числом по состоянию на август 2017 г. является 2^{74 207 281} – 1. Его нашли 17 сентября 2015 г. в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел Мерсенна GIMPS[33], однако все проверки завершились лишь 7 января 2016 г. В этот день в 22 часа 30 минут Всемирного координированного времени (UTC), когда в Москве было уже половина третьего ночи 8 января, проект GIMPS отметил двадцатую годовщину своего существовании открытием нового простого числа, наибольшего из известных. Это было число Мерсенна M_74207281, содержащее в своей записи 22 338 618 десятичных знаков. За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF[34] назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США. Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Свойства простых чисел

Каждое число n, кроме единицы, имеет хотя бы один простой делитель. Доказать этот факт весьма просто. Возьмём какое угодно число n, большее единицы. Среди делителей нашего числа n заведомо присутствуют числа, отличные от единицы: например, само число n. Составим список всех отличных от единицы делителей числа n, выберем из них наименьший (т. е. самый маленький) и как-нибудь его обозначим: например, q. Вот это q и будет тем простым делителем числа n, который мы ищем. Мы уже знаем, что q отлично от единицы. Осталось убедиться, что q не делится ни на что, кроме единицы и самого себя. Возьмём какое-то отличное от единицы число x, на которое делится q, и покажем, что оно равно q. В самом деле, это x служит делителем числа q, а q служит делителем числа n; значит, x также служит делителем числа n (см. раздел «Напоминание: делимость, чётность и простота»). Значит, оно входит в составленный нами список и потому не может быть меньше, чем наименьший член этого списка, каковым является q. Вместе с тем x, будучи делителем числа q, не может быть больше, чем q (см. раздел «Напоминание: делимость, чётность и простота»). Для x остаётся одна возможность – совпасть с q.

Ещё в III в. до н. э. в «Началах» Евклида было доказано, что среди простых чисел нет наибольшего: их ряд 2, 3, 5, …, 829, 839, 853, …, 2797, 2801, 2803, … никогда не кончается; иными, современными, словами, совокупность простых чисел бесконечна. Предложение 20 книги IX «Начал» гласит, что простых чисел больше, чем в любом предъявленном списке таковых; доказательство же этого предложения состоит в описании способа, позволяющего для любого списка простых чисел указать простое число, в этом списке не содержащееся. Отметим, что Евклид нигде не говорит о совокупности всех простых чисел в целом – само представление о бесконечных совокупностях как об особых сущностях появилось значительно позже.