Апология математики (сборник статей)

Когда-то изучение простых чисел рассматривалось как чистая игра ума. Оказалось, однако, что простые числа (особенно большие, требующие для своей записи сотен десятичных знаков простые числа) могут быть чрезвычайно полезны для решении многих практических задач защиты информации, в том числе криптографии. Тайнопись существовала уже во времена античности, а возможно, и раньше. Что касается России, то мне довелось видеть факсимильное воспроизведение документа XVII в., в котором говорилось о необходимости изобрести такое письмо, которое только его царскому величеству, и никому другому, было бы ведомо. Мальчишеское воображение всегда увлекала романтика шифров. Вспомним культовый советский сериал «Семнадцать мгновений весны», эту сказку для детей зрелого возраста. Её главный герой – штандартенфюрер Макс Отто фон Штирлиц, под каковым именем скрывается доблестный разведчик (шпион, с германской точки зрения) полковник Максим Максимович Исаев. Пользуясь конспиративным псевдонимом Юстас, Исаев отправляет шифрованные донесения Алексу. Не исключено, что тем же шифром пользуются и другие агенты Алекса. Теперь вообразим себе такую ситуацию. Шифр вот-вот будет разгадан противником, и узнавший об этом Алекс должен срочно сообщить всем своим агентам новый способ шифровки сообщений. В довершение бед Алекс лишен возможности отправить агентам шифрограммы (например, код, которым он пользуется, уже раскрыт). Казалось бы, положение совершенно безнадёжное. Однако в конце 1970-х гг. была предложена технология так называемого открытого ключа, позволяющая нынешним алексам публиковать новые инструкции по шифрованию совершенно открыто: например, в виде объявлений в средствах массовой информации. Инструкция состоит в указании двух чисел. Одно из них является произведением двух достаточно больших простых множителей, но сами эти множители разведцентр не объявляет, так что они не известны даже отправителям шифрованных сообщений. Подобный способ позволяет шифровать сообщение всякому, а вот расшифровать его смогут только в центре. Взломать код тем труднее, чем больше указанные множители.

Среди нерешённых проблем, связанных с простыми числами, назовём две – проблему близнецов и проблему Гольдбаха.

Проблема близнецов

Заметим, что встречаются очень близко расположенные друг к другу простые числа, а именно такие, расстояние между которыми равно 2. Пример: 41 и 43. Такие числа называются близнецами. Начнём последовательно выписывать пары близнецов: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), …, (41; 43), …, (821; 823), …, (1 000 000 007; 1 000 000 009) и т. д. Спрашивается, закончится ли когда-нибудь этот ряд пар? Наступит ли момент, когда будет выписана последняя пара и список близнецов окажется исчерпанным, или же ряд близнецовых пар продолжается неограниченно и их совокупность бесконечна (как бесконечна совокупность простых чисел)? Есть гипотеза, что совокупность близнецовых пар бесконечна. Проблема доказательства этой гипотезы близнецов и есть проблема близнецов. Она не решена до сих пор, хотя с помощью компьютеров и найдены весьма большие близнецы. Рекорд на конец декабря 2011 г. – близнецы, содержащие по 200 700 десятичных знаков: это два простых числа, на единицу большее и на единицу меньшее произведения 3 756 801 695 685 · 2^{666 669}.

Попробуем решить её тем же методом, каким была установлена бесконечность совокупности простых чисел в доказательстве Эйлера. В качестве последовательности (A) возьмём последовательность чисел, обратных близнецам, т. е. последовательность дробей (1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, 1/17,…). В качестве (B) тогда возникнет последовательность сумм

1/3 + 1/5, 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13, ….

Если бы удалось обнаружить, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху, то это означало бы, что ряд близнецовых пар никогда не закончится, и проблема близнецов была бы решена. Такая надежда теплилась до 1919 г., когда норвежский математик Вигго Брун (Viggo Brun) доказал, что совокупность этих сумм ограничена сверху[36]. «И прекрасно, – скажет иной читатель, – это также означает решение проблемы близнецов, но только с противоположным результатом: совокупность близнецов конечна». Однако такой вывод неправилен, что показывает следующий простой пример. Последовательность сумм

1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32, ….

ограничена сверху (наименьший ограничитель – число 1), но ряд степеней двойки (2, 4, 8, 16, 32 и т. д.) – бесконечен.

Итан Чжан и его открытие