Апология математики (сборник статей)

Посмотрим, как обстоит дело с разбиением чисел на два простых слагаемых. Приступим к проверке, начав с 4 (числа 1, 2, 3 разбить так нельзя): 4 = 2 + 2; 5 = 2 + 3; 6 = 3 + 3; 7 = 2 + 5; 8 = 3 + 5; 9 = 2 + 7; 10 = 5 + 5. Казалось бы, всё получается. Но вот на числе 11 мы спотыкаемся, его на два простых слагаемых разбить невозможно. Идём дальше: 12 = 5 + 7; 13 = 2 + 11; 14 = 7 + 7; 15 = 2 + 13; 16 = 3 + 13; на числе 17 опять заминка. Итак, мы быстро нашли два числа, которые не разбиваются на два простых слагаемых. Иной читатель скажет, что и не надо их разбивать на простые слагаемые, эти числа 11 и 17 уже сами простые. Но вот, скажем, числа 27 и 35 не являются простыми, а представить их в виде суммы двух простых слагаемых невозможно. Заметим, что все найденные нами числа, которые нельзя разбить на два простых слагаемых, нечётны. В неслучайности этого мы сейчас убедимся. Сумма двух нечётных чисел всегда чётна. Поэтому если нечётное число есть сумма двух простых слагаемых, то одно из этих слагаемых чётно. Но чётных простых чисел всего одно: это число 2. Значит, само исходное число на 2 больше какого-то простого. Но если перебирать числа в порядке возрастания, то подобные числа будут встречаться всё реже и реже, потому что всё реже и реже будут встречаться простые числа.

Гипотезу о том, что всякое чётное число, начиная с четырёх, может быть представлено в виде суммы двух простых слагаемых, принято называть бинарной гипотезой Гольдбаха. Бинарную гипотезу выдвинул Эйлер в ответном письме Гольдбаху[41]. Он заметил, что из бинарной гипотезы следует тернарная. Действительно, предположим, что бинарная гипотеза верна. Тогда для разложения числа n на три простых слагаемых надо сделать вот что. Если число n чётно, вычтем из него 2, если нечётно – вычтем 3. В обоих случаях получится чётное число, которое можно разложить на два простых слагаемых. Эти два слагаемых вкупе с вычтенной двойкой или тройкой и дадут искомое разложение. И наоборот, из тернарной гипотезы следует бинарная. Пусть тернарная гипотеза верна и требуется разложить чётное число n на два простых слагаемых. Поскольку n чётно, то n + 2 тоже чётно. Разложим его на три простых слагаемых. Если бы все эти слагаемые были нечётны, то и их сумма n + 2 была бы нечётна. Поэтому одно из слагаемых чётно и в силу того, что является простым числом, равно 2. Тогда остальные два слагаемых в сумме дадут n. Поэтому и бинарную, и тернарную гипотезу следует считать всего лишь различными формулировками одной и той же гипотезы – гипотезы Гольдбаха. Из сказанного вытекает, что есть только одна гипотеза Гольдбаха, имеющая различные эквивалентные формулировки.

К 1989 г. гипотеза Гольдбаха была доказана вплоть до гигантского числа, десятичная запись которого занимает около 43 тысяч знаков. Однако проблема Гольдбаха в её полном объёме остаётся нерешённой до сих пор, поскольку в ней говорится обо всех числах. Тернарную гипотезу Гольдбаха в применении к нечётным числам, т. е. гипотезу о том, что каждое нечётное число, начиная с семи, является суммой трёх простых чисел, принято называть слабой гипотезой Гольдбаха. Именно эта гипотеза привлекала наибольшее внимание исследователей. В 2013 г. произошло большое событие: Харальд Хельфготт, перуанец по рождению, американец по университетскому образованию и француз по месту современного жительства и работы, доказал слабую гипотезу Гольдбаха. До Хельфготта самого заметного успеха в этой области достиг советский математик И. М. Виноградов, доказавший, что каждое нечётное число, большее некоторой величины, является суммой трёх простых слагаемых. Однако названная величина оказалась астрономически велика, и потому проверить истинность гипотезы Гольдбаха для всех чисел, меньших этой величины, не представляется возможным.

Осознание того, что есть простые по формулировке вопросы, столетиями ждущие ответа, представляется поучительным. Не менее поучительно осознание того, что бывают и проблемы другого типа, не ждущие решения по причине того, что решения не существует в принципе.

Принято считать, что ранее всего – и по постановке, и по доказательству – была установлена принципиальная нерешимость проблемы нахождения общей меры двух отрезков, приписываемой школе Пифагора. Осторожные выражения «принято считать» и «приписываемая» означают, что затруднительно говорить как о бесспорных датировках, так и о бесспорном авторстве идей, относящихся к столь глубокой древности. Мы всё же будем придерживаться традиционной версии, достаточно правдоподобной.