Апология математики (сборник статей)

Сегодня трудно сказать, как именно рассуждали Пифагор и его ученики, доказывая несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали. До нас дошло чисто геометрическое и притом чрезвычайно изящное доказательство отсутствия общей меры, но является ли оно тем самым первоначальным, неизвестно[42]. Сейчас, как правило, принято сводить несоизмеримость диагонали и стороны к вопросу из теории чисел. А именно: используя прямую и обратную теоремы Пифагора, легко обнаружить, что несоизмеримость стороны и диагонали квадрата равносильна невозможности решить в целых числах уравнение 2x² = y². (Мы говорим здесь лишь о положительных целых числах; разумеется, нулевые значения x и y дают решение.) Боюсь, что в нашей средней школе эту равносильность не разъясняют, а надо бы: этот пример демонстрирует и соотношение между прямой и обратной теоремами, и то, как одна невозможность перетекает в другую. Доказательство же указанной равносильности очень просто и состоит, как и доказательство любой равносильности, из двух частей. В первой доказывается, что если бы диагональ и сторона квадрата были соизмеримы, то существовали бы такие целые числа x и y, что 2x² = y². Во второй части доказывается обратное утверждение: если бы такие числа существовали, то и диагональ оказалась бы соизмерима со стороной. Вот первая часть: если диагональ и сторона соизмеримы, то их общая мера укладывается в стороне x раз, а в диагонали – y раз; тогда по теореме Пифагора 2x² = y². А вот вторая часть: если найдутся такие целые числа x и y, что 2x² = y², то по обратной теореме Пифагора треугольник с длинами сторон x, x и y будет прямоугольным и его можно достроить до квадрата со стороной длины x и диагональю длины y. Таким образом, великое пифагорейское открытие не только было значительным само по себе, но и проложило дорогу к пониманию и доказательству замечательного факта: уравнение может не иметь решений. Обнаружить, что какое-то уравнение не имеет решений (среди целых чисел, как в нашем примере, или среди действительных чисел, как уравнение x² = −1), подчас бывает не менее важно, чем его решить. Заметим ещё, что доказательство отсутствия целочисленных решений у уравнения 2x² = y² настолько просто, что доступно школьнику младших классов[43]; боюсь, однако, в школах его не излагают.

Разговор о том, что в иных случаях решения не существует, мы продолжим в главах 5 и 6, а пока укажем второй общекультурный аспект открытия явления несоизмеримости: оно привело, хотя и не сразу, к понятию действительного числа, лежащему в основе не только математики, но и всего современного естествознания и современной техники.

Глава 4 Длины и числа

Длина отрезка есть некое соотнесённое с отрезком число. Из теоремы о несоизмеримости немедленно следует, что длина диагонали единичного квадрата, т. е. квадрата со стороной, длина которой единица, не может быть выражена ни целым, ни дробным числом. Таким образом, возникает дилемма: или признать, что существуют отрезки, не имеющие длины, или изобрести какие-то новые числа помимо целых и дробных. Человечество выбрало второе. Ввиду важности сделанного выбора изъяснимся более подробно.