Апология математики (сборник статей)

Нормы научной строгости со временем ужесточаются. Можно полагать, что формулировки Туси и Ньютона воспринимались современниками как определения понятия действительного числа. В наши дни они воспринимаются всего лишь как полезные комментарии. Вербализация указанных формулировок свидетельствует, что в XIII–XVIII вв. понятие действительного числа уже с достаточной отчётливостью воспринималось именно как понятие. Однако со временем одного интуитивного осознания сделалось мало, возникла потребность в исчерпывающих определениях. Формулировки Туси и Ньютона таковыми не являются, потому что содержащиеся в них термины «величина» и «отношение» сами нуждаются в разъяснении. Теории действительных чисел, отвечающие сегодняшним строгим требованиям, появились лишь около 1870 г. Первопроходцем здесь был почти забытый ныне французский математик Шарль Мерэ (Charles Méray; 1835–1911). На его долю выпало два звёздных мгновения, поставивших Мерэ на почётнейшее первое место в некой значимой сфере. В 1854 г. Мерэ оказался касиком, т. е. первым среди принятых по конкурсу в парижскую Высшую нормальную школу (знаменитую École normale supérieure («Эколь нормаль»), каковую благополучно окончил в 1857 г. [Изначально слово «касик» (cacique) означало индейского племенного вождя в доколумбовой Центральной Америке, Мексике и Вест-Индии.] В 1869 г. Мерэ опубликовал статью, в которой впервые было дано определение действительного числа и изложена математическая теория действительных чисел. Не только первое, но и второе событие остались лишь фактами его биографии. Мерэ приобрёл статус уважаемого, но всё же не ведущего математика своего времени, хотя имел основания числиться ведущим. Его идеи не были должным образом оценены современниками и никак не повлияли на развитие науки. А повлияли на это развитие появившиеся через несколько лет публикации прославленных, в отличие от Мерэ, немецких математиков Рихарда Дéдекинда (Richard Dedekind, 1831–1916) и Георга Кантора (Georg Cantor, 1845–1918), о котором мы ещё поговорим в главе 7. Каждый из них предложил некую конструкцию, посредством которой действительные числа строились на базе чисел рациональных. Хотя нет сомнений, что конструкция Кантора была найдена им независимо, она повторяет конструкцию Мерэ.

У нас здесь нет возможности излагать теории Дедекинда и Мерэ – Кантора. Отметим лишь, что строительным материалом для математического понятия действительного числа служат рациональные числа, каковые, в свою очередь, строятся на основе целых чисел. Это обстоятельство дало возможность выдающемуся немецкому математику Леопольду Крóнекеру (1823–1891) произнести в 1886 г. знаменитую фразу «Бог создал целые числа, всё остальное есть дело рук человеческих» («Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk»). Возможно, более точным переводом немецкого слова ganzen было бы здесь русское слово «натуральные», потому что не вызывает сомнений: Кронекер имел в виду не все целые, а именно натуральные числа (из которых уже путём сознательной человеческой деятельности строятся отрицательные целые числа). Согласие с божественным происхождением натуральных чисел ещё не означает торжества креационизма. Ибо ничто не мешает считать, что натуральные числа появились в процессе исторической эволюции, оставляя при этом в стороне вопрос, управляется ли эволюция Господом Богом или происходит сама по себе. Став на эту точку зрения, приходим к выводу, что натуральные числа родились в процессе пересчитывания предметов, а также (и, надо полагать, позже) определения количества предметов. Это разные процессы, и они с философской точки зрения приводят к различным (хотя и соотнесённым друг с другом) системам натуральных чисел. Не знаю, как другие языки, но русский демонстрирует это различие достаточно наглядно. Пересчёт мы начинаем обычно со слова «раз», а наименьшее возможное количество чего-нибудь есть ноль. Таким образом, наименьшее количественное число есть ноль, а наименьшее считательное число есть раз (один, единица)[44]. Некоторые поэтому начинают натуральный ряд, т. е. ряд натуральных чисел, с ноля, другие же – с единицы.