Апология математики (сборник статей)

Семнадцатого апреля 2013 г. статья Чжана под названием «Ограниченные промежутки между простыми числами» («Bounded gaps between primes»), излагающая его выдающийся результат, поступила в Annals of Mathematics – престижнейший математический журнал, издающийся совместно Принстонским университетом и Институтом перспективных исследований (Institute for Advanced Study). Надо сказать, что поначалу статья неизвестного автора была встречена редакцией скептически. Однако рецензирование подтвердило её математическую безупречность, и в начале мая 2013 г. она была принята к печати, а опубликована в майском номере журнала за 2014 г. (т. 179, вып. 3, с. 1121–1174).

Проблема Гольдбаха

Она состоит в требовании доказать гипотезу Гольдбаха, которая в современном понимании сводится к тому, что каждое число, начиная с шести, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. Справедливость этого утверждения для небольших чисел может проверить каждый: 6 = 2 + 2 + 2; 7 = 2 + 2 + 3; 8 = 2 + 3 + 3 и т. д. Но произвести проверку для всех чисел, как того требует гипотеза, конечно же, невозможно. Требуется какое-то иное доказательство, нежели просто проверка. Однако, несмотря на все старания, такое доказательство до сих пор не найдено.

Гипотеза была выдвинута в 1742 г. Христианом Гольдбахом в переписке с Леонардом Эйлером. Основная деятельность этих учёных протекала в России; Гольдбах был похоронен в Москве в 1764 г., а Эйлер – в Петербурге в 1783 г. Чем славен Эйлер, едва ли не самый продуктивный и один из самых великих математиков за всю историю человечества, легко узнать, если заглянуть, как в старые времена, в энциклопедический словарь. Сведения же о том, что собой представляет Гольдбах, словари дают скупо. За информацией о нём придётся обратиться к специальной литературе или же провести разыскания в интернете. Между тем некоторые из фактов заслуживают того, чтобы здесь их изложить. Хотя математические статьи, опубликованные Гольдбахом в научных журналах, и не оставили сколько-нибудь заметного следа в математике, он являлся признанным членом математического сообщества своего времени. Был лично знаком или состоял в переписке с рядом выдающихся умов, в том числе с Лейбницем; его переписка с Эйлером продолжалась 35 лет и прекратилась лишь со смертью Гольдбаха. Ему писали охотно и содержательно. Лишь из письма к Гольдбаху знаменитого математика Даниила Бернулли от 28 мая 1728 г. мы узнаём о математических достижениях Василия Евдокимовича Ададурова (1709–1780), и только это сделало возможным появление статьи об Ададурове в биографическом разделе однотомного «Математического энциклопедического словаря». Один из историков науки (кстати, правнук Эйлера и непременный секретарь Петербургской академии наук) писал: «Его [Гольдбаха] переписка показывает, что если он не прославился ни в одной специальности, то это следует приписать большой универсальности его познаний. То мы видим его обсуждающим… кропотливые вопросы классической и восточной филологии; то он пускается в нескончаемые археологические споры…» В своих письмах Гольдбах предстаёт как человек, наделённый и интуицией, и способностью чувствовать новое. В России, куда он приехал в 1725 г. в возрасте 35 лет, Гольдбах сделал головокружительную карьеру. Он сразу получил место секретаря, а также историографа организуемой во исполнение замысла Петра I Императорской академии наук; именно он вёл (на латыни) первые протоколы академии. С 1737 по 1740 г. он был одним из двух лиц, осуществлявших административное управление академией (другим был Шумахер; обоим по этому случаю присвоили чин коллежского советника). В конце 1727 г. он был назначен наставником двенадцатилетнего императора Петра II. Рассказывают, что руководство по обучению царских детей, составленное Гольдбахом в 1760 г., применялось на практике в течение 100 последующих лет. В 1742 г. Гольдбах стал служить по ведомству Коллегии иностранных дел, получал награды, земли и чины и к 1760 г. дослужился до тайного советника. Чин этот довольно точно отражал его обязанности, поскольку Гольдбах состоял в должности криптографа. Эйлеру тоже захотелось чина. Однако Екатерина II, благосклонно встретившая его пожелания относительно жалованья, казённой квартиры и обеспечения его трёх сыновей должностями и доходами, весьма дипломатично отказала: «Я дала бы, когда он хочет, чин, если бы не опасалась, что этот чин сравняет его с множеством людей, которые не стоят г-на Эйлера. Поистине его известность лучше чина для оказания ему должного уважения».

На самом деле Гольдбах выдвинул гипотезу, очень похожую на ту, что носит его имя, но всё же отличную от неё[40]. Дело в том, что в его терминологии к простым числам относилась и единица, которую в наши дни (и в нашей статье) к простым числам не относят.

Гипотезу о разбиении любого числа на три простых слагаемых часто называют тернарной гипотезой Гольдбаха.