Апология математики (сборник статей)

Доказательство Евклида настолько просто и поучительно, что сейчас мы его воспроизведём. Итак, мы хотим убедиться, что невозможен такой конечный список чисел, который содержал бы все простые числа. Для этого возьмём какой угодно конечный список простых чисел (k, l, m, …, r, s, t) и найдём простое число, в нём отсутствующее; это будет означать, что простые числа не могут быть исчерпаны никаким конечным списком. Перемножим все числа нашего списка. Мы получим число k · l · m · … · r · s · t. Чтобы о нём говорить, как-нибудь его обозначим, например Q. Ясно, что это Q делится на каждое из чисел k, l, m, …, r, s, t нашего списка. Теперь посмотрим на число Q + 1. Оно больше единицы, а потому, как мы убедились выше, у него найдётся хотя бы один простой делитель. Обозначим буквой p какой-нибудь простой делитель числа Q + 1. Он не может совпадать ни с одним из чисел k, l, m, …, r, s, t, потому что тогда бы получалось, что на это p делятся два последовательных числа, а именно Q и Q + 1, что невозможно. Вот мы и нашли простое число, не входящее в наш список (k, l, m, …, r, s, t). Другое, уже не такое короткое, но весьма остроумное доказательство бесконечности ряда простых чисел принадлежит великому швейцарско-российскому математику Леонарду Эйлеру. Сказанное не вполне точно. Эйлеру не было нужды доказывать хорошо известный факт. Но он доказал одну теорему, содержание которой мы приведём ниже, а из неё этот факт немедленно вытекает. Поэтому мы позволим себе говорить о доказательстве Эйлера.

Доказательство Эйлера

Прежде всего условимся временно отказаться от нашего соглашения называть числами только положительные целые числа. Рассмотрим какую-либо конечную или бесконечную совокупность положительных чисел. Будем называть эту совокупность ограниченной сверху, если существует такое число, которое больше всех чисел, входящих в рассматриваемую совокупность. Всякое такое число будем называть верхним ограничителем этой совокупности. Ясно, что если наша совокупность конечна, то она ограничена сверху: в качестве верхнего ограничителя можно взять, например, сумму всех чисел, принадлежащих нашей совокупности. (Бесконечная совокупность чисел также может быть ограничена сверху, даже если её члены возрастают. Такова, например, совокупность {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …}. Действительно, одним из её верхних ограничителей является число 6. (Упражнение для читателя: какой из ограничителей этой совокупности является самым маленьким?) Предположим далее, что нам удалось расположить все числа исследуемой совокупности в виде конечной или бесконечной последовательности (A):

(A) a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ….

Если наша совокупность конечна, то последовательность (A) где-то оборвётся. Если же совокупность бесконечна, то последовательность (A) продолжается неограниченно. Будем теперь одну за другой образовывать суммы начальных членов этой последовательности: сначала образуем сумму двух первых членов, затем первых трёх и т. д., пока возможно. Процесс оборвётся, если конечна последовательность (А). Если же она бесконечна, процесс продолжится неограниченно. В итоге возникнет конечная или бесконечная последовательность (В):

(B) a₁ + a₂, a₁ + a₂ + a₃, a₁ + a₂ + a₃ + a₄, a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅, ….

Если совокупность всех членов последовательности (A) конечна, то совокупность всех членов последовательности (В) также конечна и, следовательно, ограничена сверху. Поэтому, если оказалось, что совокупность всех членов последовательности (B) не является ограниченной сверху, то она бесконечна, а значит, бесконечна и совокупность всех членов последовательности (A). В этом суть Эйлерова доказательства бесконечности ряда простых чисел. В качестве последовательности (A) берётся последовательность дробных чисел, обратных простым, т. е. последовательность дробей 1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13 и т. д. Тогда в качестве последовательности (B) выступит последовательность сумм

1/2 + 1/3, 1/2 + 1/3 + 1/5, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7, 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11, ….

В той своей теореме[35], на которую мы здесь ссылаемся, Эйлер доказал, что совокупность всех таких сумм не является ограниченной сверху. Следовательно, она бесконечна. А значит, бесконечна совокупность {1/2, 1/3, 1/5, 1/7, 1/11, 1/13, …} всех дробей, обратных простым числам. Стало быть, бесконечна и сама совокупность простых чисел.