Апология математики (сборник статей)

Более чем через тысячу лет после Евклида, примерно в 1000 г. н. э., великий арабский учёный Ибн аль-Хайсам (965–1040) высказал гипотезу, что всякое чётное совершенное число имеет вид 2^p−1 (2^p – 1), где число 2^p − 1 является простым. И действительно, совершенное число 496, например, представимо в виде 2^5–1(2⁵ – 1). Лишь в 1747 г. великий швейцарско-российский математик Леонард Эйлер сумел доказать гипотезу Ибн аль-Хайсама. Тем самым было установлено взаимно однозначное, т. е. однозначное в обе стороны, соответствие между чётными совершенными числами и простыми числами вида 2^p − 1: каждому простому числу названного вида однозначно соответствует чётное совершенное число, и наоборот, каждому чётному совершенному числу однозначно соответствует простое число вида 2^p − 1.

Из сказанного видно, что числа вида 2ⁿ – 1 представляют специальный интерес. Они названы числами Мерсенна в честь французского монаха Марена Мерсенна (Marin Mersenne, 08.09.1588–01.09.1648), теолога, философа, математика, акустика и теоретика музыки. В честь Мерсенна принято также и обозначение: число 2ⁿ – 1 обозначается M_n. Таким образом, теорему Евклида – Эйлера можно записать так: чётное число тогда и только тогда является совершенным, когда оно представимо в виде 2ⁿ⁻1 M_n, где M_n – простое.

Марен Мерсенн был личностью замечательной. Ему принадлежат серьёзные работы по акустике колеблющейся струны. Но главное, в первой половине XVII в. он был центральной фигурой и координатором исследований в области естествознания и математики в Европе. По замечанию Паскаля, Мерсенн имел уникальный талант ставить новые научные проблемы, а не разрешать их. Он создал научный кружок, к которому принадлежали многие выдающиеся учёные того времени, в том числе математики Декарт, Дезарг, Паскаль.

Из этого кружка уже после смерти Мерсенна, в 1666 г., выросла Французская академия наук. Не меньшее значение имела переписка, которую Мерсенн вёл с большинством светил европейской науки XVII в. (в том числе, например, с Галилеем и Торричелли). Практически только из переписки Мерсенна с Ферма, изданной уже после смерти последнего, мы знаем об открытиях этого великого математика и физика. Необходимо учесть, что при отсутствии научных журналов – а первый такой журнал вышел лишь в 1665 г. – их роль выполняли кружки и переписка.

Разумеется, когда Мерсенн занялся числами, ныне носящими его имя, они так не назывались. Его вклад заключался в попытке составить список первых последовательно идущих простых чисел Мерсенна. Этот список, включавший 11 чисел, страдал значительными погрешностями. Так, последним в нём стояло число M₂₅₇, каковое – как и число M₆₇, включённое Мерсенном в свой список, – оказалось составным.

Но этот и другой (о нём мы ещё поговорим) недостаток, сколь бы существенны они ни были, не отменяет главного: Марен Мерсенн поставил задачу создания как можно более длинного списка простых чисел Мерсенна. Более того, математики осознали, что большие простые числа удобно искать именно среди чисел Мерсенна. Как тут не вспомнить высказывание Паскаля об уникальном даре Мерсенна.

Другой недостаток, о котором мы обещали сказать, состоит в неполноте списка. Некоторые простые числа были в нём пропущены. В 1883 г. сельский священник Пермской губернии Иван Михеевич Первушин доказал, что число М₆₁, квалифицированное Мерсенном как составное и потому не вошедшее в его список, на самом деле является простым. Это была первая демонстрация неполноты списка Мерсенна: число М₆₁ явилось первым примером простого числа, пропущенного автором списка, и ввиду этого получило наименование числа Первушина (Pervushin's number). За это и другие достижения в теории чисел Первушин был избран членом-корреспондентом Санкт-Петербургской, Неаполитанской и Французской академий наук, членом Московского и Казанского математических обществ.

Число Первушина, записываемое в десятичной записи как 2 307 843 009 213 693 951, оказалось вторым по величине найденным простым числом. Первым по величине было число M₁₂₇, стоявшее в списке Мерсенна предпоследним; его простота была подтверждена в 1876 г. Второе место число Первушина удерживало вплоть до 1911 г., когда было доказано, что число M₈₉ – простое.