Апология математики (сборник статей)

Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее, наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.

Пифагорейцы знали только три первых совершенных числа. Первые четыре совершенных числа: 6, 28, 496, 8128 приведены в «Арифметике» Никомаха Герасского[31]. Пятое совершенное число 33 550 336 обнаружил выдающийся немецкий математик, астроном и астролог Региомонтан (XV в.). В XVI в. были найдены ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328. В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX в., когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.

Про первые 45 из известных совершенных чисел известно, что они идут без пропусков. Это значит, что если занумеровать совершенные числа в порядке их открытия, то, скажем, между 40-м и 41-м числами совершенных чисел нет. Но про последние четыре открытые числа это неизвестно. Так что между 45-м и 46-м совершенными числами могут оказаться другие совершенные числа, равно как между 46-м и 47-и, между 47-м и 48-м, 48-м и 49-м. Можно сказать, что каждое совершенное число имеет два номера – один абсолютный и другой хронологический. До сих пор мы имели дело с хронологическими номерами – это те номера, которые присваиваются числам в порядке их открытия. Абсолютный номер – это порядковый номер совершенного числа, если совершенные числа выстроить в порядке их возрастания. До 45-го совершенного числа включительно их абсолютные и хронологические номера совпадали. А дальше – неизвестность.

Первые четыре совершенных числа (6, 28, 496 и 8128) были известны уже во II в. н. э. К октябрю 2008 г. было обнаружено 46 совершенных чисел; для записи наибольшего из них требуется 25 956 377 десятичных знаков. К настоящему моменту (август 2017 г.) известно уже 49 совершенных чисел. Самое большое известное совершенное число имеет вид 2^74207280 × (2^74207281 − 1) и содержит в своей записи 44 677 235 десятичных знаков.

Все найденные совершенные числа оказались чётными. И вот первая, простая по формулировке, но не решённая до сих пор, проблема: существуют ли нечётные совершенные числа?

Может ли случиться, что 49-е совершенное число – последнее не только из найденных к настоящему времени, но вообще из всех существующих? Может быть, оно самое большое из всех и совершенных чисел, бóльших его, уже нет? Никто не знает, эта проблема тоже до сих пор не решена. Однако имеется гипотеза, что в ряду чисел за каждым совершенным числом встретится ещё большее совершенное число, иными словами, совокупность всех совершенных чисел бесконечна. Но пока это только гипотеза. Доказать или опровергнуть гипотезу о бесконечности количества совершенных чисел – это и есть вторая из двух проблем, упомянутых в заголовке этой главки.

Заметим, что на самом деле ищут не сами совершенные числа, а теснейшим образом с ними связанные простые числа Мерсенна, получившие в конце XX в. практическое применение в криптографии и в создании широко используемых в информатике псевдослучайных чисел[32]. О числах Мерсенна – в следующей главке.

Числа Мерсенна. Число Первушина

Биографические сведения о великом древнегреческом математике Евклиде крайне скудны. Считается установленным, что он родился во второй половине IV в. до н. э., а скончался в первой половине III в. до н. э. В историю математики Евклид вошёл благодаря своему прославившему его сочинению, известному в русском переводе под названием «Начала». В нём он собрал и изложил всю известную к тому времени математику. Нас здесь интересует вклад Евклида в теорию совершенных чисел.

В свои «Начала» Евклид поместил следующую теорему: если число 2^p − 1 является простым, то число 2^p−1 (2^p − 1) является совершенным. Например, число 2³ – 1 простое, и в соответствии с теоремой Евклида число 28 = 2^3–1 (2³–1) является совершенным. Заметим, что 2^p − 1 может быть простым только при простом p. В самом деле, если p = r · s, r > 1, s > 1, то, как известно из курса средней школы, выражение 2^r·s – 1 = (2^r)^s – 1 делится на 2^r – 1. Однако обратное неверно: из простоты числа p не следует простота числа 2^p – 1; так, 2¹¹ – 1 = 23 · 89.