Апология математики (сборник статей)

Сенсационный прорыв в проблеме близнецов произошёл весной 2013 г. И совершил этот прорыв мало кому до того известный математик китайского происхождения, занимавший на тот момент более чем скромную должность в американском Университете Нью-Хэмпшира. Зовут этого математика Итан Чжан (Yitang Chang, а в стандартной латинской транслитерации пиньинь и с учётом того, что в китайском языке фамилия предшествует имени – Zhāng Yìtáng). В истории математики это редчайший случай, когда математик делает первое выдающееся открытие на пороге шестидесятилетия.

Итан Чжан родился в Шанхае в 1955 г. (более точной даты установить не удалось). Через 11 лет в Китае началась так называемая Великая пролетарская культурная революция – инициированный и управляемый лично Мао Цзэдуном хаос, сопровождавшийся погромами и нанёсший колоссальный урон культуре и образованию. Только в 1978 г., в двадцатитрёхлетнем возрасте, Чжан поступил в Пекинский университет, в стенах которого пребывал вплоть до присвоения ему магистерской степени в 1984 г., после чего он получил право на продолжение учёбы в престижном американском Университете Пердью. В этом университете Чжан обучался с января 1985 г. по декабрь 1991 г., когда стал доктором математики[37].

А потом наступили тяжёлые времена. Чжан не сумел найти работу по специальности. Но он не отчаялся. Несколько лет он работал то в лавке, торгующей сэндвичами, то бухгалтером в ресторане, то разносчиком пиццы, то служащим мотеля. Только в 1999 г. Чжану удалось устроиться на временную работу преподавателя в Университете Нью-Хэмпшира. В этом качестве он в 2013 г. сделал одно из крупнейших открытий в теории чисел. Гром пошёл по пеклу, и Чжана тут же произвели в полные профессора, осыпали премиями[38] и избрали членом Китайской академии наук.

Попробуем объяснить, что именно сделал Чжан.

Расстояние между n-м простым числом p(n) и ближайшим следующим простым числом p(n + 1), т. е. разность p(n + 1) – p(n), обозначим через r (n). Вот первые 12 членов последовательности, составленной из этих расстояний r(n):

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 6, 4.

Двойка встречается здесь пять раз; гипотеза близнецов состоит в том, что во всей бесконечной последовательности она встретится бесконечное число раз.

Насколько редко могут быть расположены простые числа? Иными словами, насколько велики могут быть числа r(n)? Оказывается, отрезки числового ряда, не содержащие ни одного простого числа, могут быть сколь угодно длинными. Вот типичная задача, часто предлагаемая в школьных кружках по математике: для произвольного числа n предъявить n подряд идущих чисел, ни одно из которых не является простым. Решение: надо взять числа (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4, …, (n + 1)! + (n + 1). Каждое из этих n чисел составное: первое делится на 2, второе – на 3, третье – на 4 и т. д. Стало быть, расстояние между соседними простыми числами может быть сколь угодно велико.

При возрастании n среднее значение числа r(n) стремится к бесконечности. Это значит, что к бесконечности стремится дробь

Более того, в 1896 г. два знаменитых математика – француз Жак Адамар (Jacques Salomon Hadamard, 1865–1963) и бельгиец Шарль Жан Валле-Пуссен (Charles Jean Étienne Gustave Nicolas de la Vallée Poussin, 1866–1962) – независимо друг от друга доказали, что s(n) стремится к бесконечности с той же скоростью, что и логарифм n: отношение s(n)/log(n) стремится к 1[39]. Оставался открытым вопрос, не стремятся ли к бесконечности и сами члены последовательности r(n).

Нет, доказал в 2013 г. Чжан, члены последовательности r(n) к бесконечности не стремятся.

Из этого результата, полученного китайским исследователем, вытекает следствие, имеющее самое непосредственное отношение к проблеме близнецов. Коль скоро последовательность чисел r(n) не стремится к бесконечности, то существует число M, обладающее следующим свойством: количество натуральных чисел n, для которых r(n) ≤ M, бесконечно. Это бесконечное множество разбивается на конечное число подмножеств H_q = {n: r(n) = q}. Хотя бы одно из этих подмножеств бесконечно. А это значит, что существует бесконечное множество простых чисел, расстояние от которых до следующего равно в точности q. Всякое такое q естественно называть числом Чжана. Открытие китайского математика состояло в доказательстве того, что числа Чжана (разумеется, сам он их так не называл) существуют – до него это не было известно. Доказательство Чжана принадлежало к доказательствам чистого существования (см. сноску 35 о доказательстве Вигго Бруна): не было названо ни одного числа Чжана. Однако Чжан доказал, что хотя бы одно число Чжана существует в пределах первых 70 миллионов. К апрелю 2014 г. соединёнными усилиями различных математиков рубеж 70 000 000 удалось понизить до 246. Гипотеза близнецов состоит в том, что число 2 является числом Чжана.