Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра

Компоненты вектора L и частные производные в момент t (изохронные производные) находятся численным интегрированием уравнений движения в прямоугольных координатах с последующим преобразованием их в координаты ξ, η, ζ и численным интегрированием уравнений, определяющих значения производных (так называемых уравнений в вариациях) при заданных начальных условиях движения. Таким образом, на момент сближения астероида, соответствующего номинальному решению, с Землей (или со сферой ее действия) оказываются известными координаты центра эллипса в плоскости цели и его полуоси, определяемые как

где D_ii — диагональные элементы матрицы ковариации D, a₁ = a_ξ — длина малой полуоси эллипса рассеяния, a₂ = a_ζ — длина большой полуоси. Заметим, что формула (7.13) определяет полуоси эллипса, соответствующие области неопределенности начальных условий внутри эллипсоида равных плотностей вероятности. Чтобы получить полуоси доверительного эллипса на плоскости цели, надо a_ξ и a_ζ умножить на 3.

Возможны следующие три случая взаимного расположения Земли и эллипса на плоскости цели: а) эллипс расположен на некотором расстоянии от окружности с радиусом, равным радиусу Земли (радиусу захвата Земли, если вычисления доверительного эллипса производятся на границе сферы действия Земли) (рис. 7.3 а), что практически исключает возможность столкновения астероида с Землей;

б) кружок с радиусом, равным радиусу Земли (или радиусу захвата), находится внутри эллипса (рис. 7.3 б). Вероятность столкновения может быть рассчитана исходя из отношения площади кружка к площади, ограниченной эллипсом. Для повышения точности прогноза можно учесть неодинаковую вероятность попадания виртуальных астероидов в различные точки области, ограниченной эллипсом;

^{Рис. 7.3. Возможные взаимные расположения эллипсов рассеяния и Земли в плоскости цели}

в) площадь, ограниченная эллипсом, частично покрывает Землю (рис. 7.3 в). Этот случай практически не отличается от предыдущего. Вероятность столкновения рассчитывается с учетом отношения перекрывающейся области ко всей площади, ограниченной эллипсом.

Более подробно расчет вероятности столкновения здесь не рассматривается, так как во всех случаях, когда возникает реальная угроза столкновения, следует предпринять дополнительные исследования, учитывающие возможный нелинейный характер задачи.

Нелинейный характер задача может иметь по многим причинам. Доверительный эллипсоид уже в эпоху t₀ может недостаточно хорошо описывать область возможных начальных условий, поскольку само распределение ошибок наблюдений может не подчиняться закону Гаусса. Чем дальше от эпохи t₀, тем больше нарастает нелинейность, и применение формулы (7.8) становится незаконным. Проекция доверительного эллипсоида на плоскость цели в момент t сближения с Землей, отдаленный от t₀ на десятилетия, вытягивается в очень узкую область, которая к тому же искривляется в соответствии с кривизной земной орбиты. По всем этим причинам линейный анализ задачи становится неадекватным и требуется применение более тонких методов анализа. К настоящему времени предложено два таких метода: метод Монте-Карло и метод линии вариации.