Астероидно-кометная опасность: вчера, сегодня, завтра

Обратимся теперь к рассмотрению особенностей, которые связаны с нелинейными эффектами. Если все возможные сближения виртуальных астероидов с Землей на исследуемом интервале упорядочить по времени, то можно видеть, что они группируются около нескольких эпох, когда Земля оказывается вблизи узла номинальной орбиты астероида на эклиптике. По аналогии с метеороидами, встречающимися с Землей, такие наборы виртуальных астероидов можно назвать потоками. Очень часто поток можно подразделить на отдельные струи, охватывающие подмножества виртуальных астероидов на динамически различных путях. Например, один поток может включать несколько струй, в которых виртуальные астероиды совершили различное число оборотов вокруг Солнца за время, истекшее с момента t₀. Аналогичное подразделение потока на струи может возникнуть в результате его тесного сближения с Землей, когда часть виртуальных астероидов под влиянием возмущений со стороны последней оказывается на орбитах, имеющих те или иные соизмеримости с Землей. В итоге, спустя определенное целое число лет, Земля может встретиться вблизи узла номинальной орбиты астероида уже с несколькими различными струями виртуальных астероидов. На плоскости цели отдельные струи обнаруживаются в виде чрезвычайно вытянутых цепочек виртуальных астероидов, располагающихся внутри доверительной области отдельной струи, ширина которой во много раз меньше ее длины.

Поток виртуальных астероидов в январе 2046 г., соответствующих орбите астероида 1998 OX₄, подразделяется на три струи. Одна из струй пересекает Землю, ввиду чего возможно столкновение. Некоторые струи могут обнаруживать поведение, отличное от только что описанного. Например, при изменении среднего движения вдоль линии вариации точки пересечения соответствующих виртуальных астероидов с плоскостью цели сначала приближаются к линии минимального расстояния между Землей и астероидом, но затем движение прекращается и сменяется на обратное. Такое поведение может быть названо прерванным возвращением. Оно возникает в результате предшествующих тесных сближений с Землей. Примером прерванного возвращения может служить струя потока виртуальных астероидов в январе 2046 г., соответствующих орбите астероида 1998 OX₄ [Milani et al., 2002].

Остановимся на некоторых особенностях, связанных с подсчетом вероятности столкновения в случае нелинейности задачи. Как мы видели, для таких случаев характерно вытягивание области пересечения виртуальных астероидов с плоскостью цели в очень узкую полосу, длина которой в тысячи раз превосходит ширину. Точка, соответствующая номинальному решению, может отстоять на очень большое расстояние от Земли. При этом из-за нелинейности точность определения минимального расстояния полосы от Земли оказывается невысокой, что недопустимо, если само расстояние составляет, согласно вычислениям, всего лишь несколько земных радиусов. В таких случаях рекомендуется использовать итеративную процедуру, которая сводится к поиску поправок к номинальному решению, приводящих к более тесному сближению соответствующего виртуального астероида с Землей [Milani et al., 2002]. Процесс повторяют до тех пор, пока минимальное расстояние не перестанет изменяться.

Если оказалось, что минимально возможное расстояние меньше радиуса захвата Земли, то столкновение в принципе возможно и надо оценить его вероятность. При условии, что ширина полосы много меньше диаметра Земли, легко написать формулу для оценки вероятности столкновения. В самом деле, полоса, где располагаются виртуальные астероиды, вырезает в области захвата Земли хорду l максимальной длины 2R₀ (R₀ — радиус захвата Земли). Пусть длина всей полосы, соответствующая изменению среднего движения в пределах ±3σ_n составляет Λ км (σ_n — средняя ошибка среднего движения). Можно написать, что Λ = 6a_ζ, где a_ζ — длина большой полуоси эллипса рассеяния (см. формулу (7.13)).

Плотность вероятности распределения виртуальных астероидов вдоль этой полосы, которую мы будем рассматривать как одномерную, зависит от двух параметров: центра распределения и величины a_ζ. Центр распределения в данном случае совпадает с серединой полосы (точкой пересечения с плоскостью цели того виртуального астероида, который имеет среднее движение, найденное в номинальном решении). Величина a_ζ также известна. Плотность распределения виртуальных астероидов вдоль полосы описывается кривой Гаусса

где p(z) — плотность вероятности при данном значении z, отсчитанном от z₀. Величина p(z)dz есть вероятность попадания виртуального астероида в интервал z — (z + dz). Чтобы воспользоваться этой формулой, надо оценить величину p(z) при значении z, соответствующем пересечению полосы с Землей, и величину dz. Отношение l/a_ζ, где l — длина хорды, можно рассматривать как малое по величине приращение dz переменной z в пределах области захвата. Значение переменной z, соответствующее пересечению полосы с Землей, — это просто расстояние от центра полосы до центра Земли, выраженное в единицах a_ζ.