Богиня маленьких побед

– Если вкратце, Адель, то можно сделать вывод о том, что промежуточных бесконечностей между бесконечностью натуральных чисел и бесконечностью действительных чисел не существует… Точнее, не должно существовать. Если бы граница существовала, то она располагалась бы в промежутке между «N» и «R»: самой маленькой кучкой камней и той, которая содержит их все, но которую нельзя ими представить по той простой причине, что она не является счетной. О промежуточных множествах «Z» и «Q», как я тебе уже говорил, все забывают, путая их бесконечность с бесконечностью множества «N». Таким образом, мы одним прыжком совершаем переход от «дискретного» к «непрерывному». Это явление получило название континуум-гипотезы.

– Гипотезы? А твой Кантор ее что, не доказал?

– Ни он, ни кто-либо другой. Эта гипотеза представляет собой первейший из тех вопросов, которые Дэвид Гилберт сформулировал с целью консолидировать усилия математиков всего мира.

– Знаменитая программа, второй пункт которой был реализован тобой посредством теоремы неполноты? Тогда почему ты, человек столь педантичный и аккуратный, не начал с первого?

Впоследствии я узнала, что этот Кантор сошел с ума и умер. И тоже всю жизнь страдал от постоянных депрессий. Почему Курт встал на тот же самый призрачный, непонятный путь?

– Работы Кантора базируются на одной спорной аксиоме, известной как «аксиома выбора».

– Но ведь ты когда-то говорил мне, что аксиома – это непреложная истина!

Курт приподнял бровь:

– Твоя память, Адель, меня буквально поражает. В какой-то степени ты права, но эта истина в коробке с математическими инструментами стоит особняком. Сейчас у меня больше нет сил объяснять тебе все ее тонкости. Единственное, что тебе надо знать, это что использование некоторых подобных аксиом приводит нас к неразрешимым логическим парадоксам. Что вызывает сомнения в их легитимности.

– А всякие парадоксы ты ненавидишь.

– Я пытаюсь обосновать доказуемость континуум-гипотезы. Как с помощью непротиворечивых аксиом доказать ее ложность или истинность?

– Но ты же сам это доказал. Не каждая математическая истина может быть доказана!

– Это неправильная формулировка моей теоремы. Проблема не в этом. Если эти аксиомы «ложны», то нам придется опровергнуть истинность и других теорем, которые на них базируются.

– Неужели это так серьезно, мой дорогой доктор Гёдель?

– Собор нельзя построить на шатком фундаменте. Нам надо узнать, и мы обязательно узнаем[61].

Я стерла на песке все надписи, и мои ногти покрылись красивой вязью песчинок. Вернусь в гостиницу с образцом бесконечности на руках.

– Твоя идея «непрерывности» для меня сплошной мрак! Ты не можешь найти какой-нибудь простенький образ, чтобы мне ее объяснить?

– Если бы мир можно было объяснить с помощью образов, математика была бы человечеству не нужна.

– Как и математики! Бедный ты мой!

– Этого не будет никогда.

– А если бы тебе нужно было объяснить все эти премудрости ребенку, что бы ты сделал?

Говоря по правде, вопрос должен был звучать чуточку иначе: «Как бы ты объяснил это нашему ребенку?» Смог бы Курт терпеливо объяснить все тонкости своей вселенной собственному отражению – более непорочному и чистому, чем он сам? Хотя и не совсем точному. Согласился бы облечь в новые формулировки то, чего не излагал уже очень давно?

– Песок на этом берегу, Адель, мог бы представлять счетную бесконечность. Теоретически ты могла бы сосчитать каждую его песчинку. А теперь взгляни на волну. Где кончается море и где начинается песок? Присмотревшись поближе, ты увидишь волну поменьше, затем еще меньше. Четкой границы между песком и пеной попросту нет. Вполне возможно, что нам удастся обнаружить подобную грань между «количественностью» множеств «N» и «R». Между бесконечностью целых чисел и бесконечностью действительных чисел.

– Почему ты по ночам уходишь из гостиницы? Почему ничего не ешь?

– Я тебе уже все объяснял. Это фундаментальный вопрос. В чем-то даже метафизический. Гилберт поставил его во главу своей математической программы.

– То, что господин Гилберт считает его таким важным, не объясняет мне, почему он таковым является!

– Адель, я интуитивно чувствую, что континуум-гипотеза ложна. Чтобы дать правильное определение бесконечности, нам недостает аксиом.

– Зачем тогда мерить море чайной ложкой?

– Я должен сформулировать доказательство когерентной, незыблемой системы. Нужно установить, чем является исследуемая мной бесконечность – реальностью или же решением. Я хочу удостоверить, что мы движемся вперед в познании Вселенной, которая становится нам все более понятной. Я должен точно знать, создал ли Бог только целые числа, а все остальное – дело рук человеческих[62].

С этими словами он яростно, будто мальчишка, швырнул в воду камешки, которые использовал для объяснения своей теории.