Большая Советская Энциклопедия (АЛ)

  и т. п. Существует алгоритм , который по произвольной конечной системе функций А. л. устанавливает её полноту или неполноту. Рассматриваются и такие языки, в основе которых лежат системы операций, не являющихся функционально полными, и таких языков бесконечно много. Среди них имеется бесконечно много попарно неравносильных языков (в смысле отсутствия переводимости при помощи тождественных преобразований с одного языка на другой). Однако для всякого языка, построенного на основе тех или иных операций А. л., существует такая конечная система равенств этого языка, что всякое равенство этого языка выводимо при помощи тождественных преобразований из равенств этой системы. Такая система равенств называется дедуктивно полной системой равенств (п. с. р.) языка.

  Рассматривая тот или иной из упомянутых выше языков вместе с некоторой п. с. р. этого языка, иногда отвлекаются от табличного задания операций, лежащих в основе этого языка, и от того, что значениями его переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации языка, состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значениями переменных) и системы операций над объектами этого множества, удовлетворяющих равенствам из п. с. р. этого языка. Так, язык над &, Ú, ^- , 0, 1 в результате такого шага превращается в язык т. н. булевой алгебры, язык над &, +, 1 превращается в язык т. н. булевого кольца (с единицей), язык над &, Ú в язык дистрибутивной структуры и т. п.

  А. л. развивается главным образом под влиянием задач, встающих в области её приложений. Из них самую важную роль играют приложения А. л. в теории электрических схем. Для описания последних в некоторых случаях приходится отказываться от пользования лишь обычной двузначной А. л. и рассматривать те или иные её многозначные обобщения (см. Многозначная логика ).

  Лит.: Гильберт Д. и Аккерман Б., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Новиков П. С., Элементы математической логики, М., 1959.

  В. Б. Кудрявцев.

Алгебраическая геометрия

Алгебраи'ческая геоме'трия, раздел математики, изучающий алгебраические многообразия. Так называются множества точек в n-мерном пространстве, координаты которых (x₁ , x₂ ,...,x_n ) являются решениями системы уравнений:

  F₁ (X₁ , Х₂ ..., X_n ) = 0,

  F_m (X₁ , x₂ , ..., X_n ) = 0,

  где F_i ,..., F_m — многочлены от неизвестных x₁ , ..., x_n . Каждое алгебраическое многообразие имеет определённую размерность, которая является числом независимых параметров, определяющих точку на многообразии. Алгебраические многообразия, имеющие размерность 1, называются алгебраическими кривыми, имеющие размерность 2 — алгебраическими поверхностями. Примерами алгебраических кривых могут служить конические сечения .

  Два алгебраических многообразия называются бирационально эквивалентными, если координаты каждой точки одного многообразия выражаются при помощи рациональных функций через координаты точки другого многообразия, и наоборот. В А. г. алгебраические многообразия обычно изучаются с точностью до бирациональной эквивалентности, поэтому одной из основных задач А. г. является построение бирациональных инвариантов для алгебраических многообразий. Наиболее важные из известных бирациональных инвариантов строятся с помощью средств математического анализа (т. н. трансцендентных методов), в особенности при помощи кратных интегралов по алгебраическому многообразию. Кроме трансцендентных методов, в А. г. часто применяются геометрические методы проективной геометрии , а также топологические методы (см. Топология ). Последнее вызвано тем, что некоторые важные бирациональные инварианты, например род кривой (см. ниже), алгебраических многообразий носят топологический характер. Особенно большую роль играет связь А. г. с топологией в свете теоремы японского математика Хиронака, согласно которой всякое алгебраическое многообразие бирационально эквивалентно многообразию, не имеющему особых точек.