Большая Советская Энциклопедия (КВ)

являющимся уравнением движения в К. м. Это уравнение называется временным уравнением Шрёдингера. Оно справедливо и в том случае, когда потенциальная энергия зависит от времени: V = V (x, t).

  Частными решениями уравнения (9) являются функции

.     (10)

  Здесь E — энергия частицы, а y(х) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера (7); для свободного движения y(х) является волной де Бройля e^ikx.

  Волновые функции (10) обладают тем важным свойством, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т.к. |y(x, t)|² = |y(x)|². Поэтому состояния, описываемые такими волновыми функциями, называемые стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.

  Общее решение временного уравнения Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если

,

то E =  с вероятностью ½C₁½² и E =  с вероятностью ½C₂½². Для энергии и времени существует соотношение неопределенностей:

,     (11)

где DE — дисперсия энергии, а Dt — промежуток времени, в течение которого энергия может быть измерена.

  Трехмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трех измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трех координат х, у, z (и времени): y = y (х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид

,     (12)

где p_x, p_y, p_z,— три проекции импульса на оси координат, а . Соответственно имеются при соотношения неопределенностей:

, , ,     (13)

  Временное уравнение Шредингера имеет вид:

.     (14)

  Это уравнение принято записывать в символической форме

,     (14, a)

  где

— дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

  Стационарным решением уравнения (14) является:

,     (15)

где y₀ — решение уравнения Шредингера для стационарных состояний:

= Ey₀     (16)

или

.       (16,а)

  При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда несколько разных состояний имеют одинаковую энергию; такие состояния называются вырожденными. В случае непрерывного спектра частица уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности — прохождение или отражение), при трёхмерном движении частица может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первоначального движения, т. е. рассеяться. Волновая функция частицы теперь является суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные частицы удобно описывать в сферических координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами — широтой q и азимутом j. Соответствующая волновая функция на больших расстояниях r от центра сил имеет вид:

.     (17)

  Первый член (пропорциональный волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный «радиальной волне де Бройля») — рассеянные. Функция f (J, j) называется амплитудой рассеяния; она определяет так называемое дифференциальное сечение рассеяния ds, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

ds = |f (J, j)|²dW,      (18)

где dW — элемент телесного угла, в который происходит рассеяние.

  Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетические уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферическими координатами.

  Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической механике, заданием момента количества движения, который при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классической механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения — вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид «угловой волны де Бройля» e^imj, где j — азимут, а число m также связано с моментом M_z, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. m = M_z/h. Т. к. углы j и j + 2p описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении j на 2p должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что m может принимать только целочисленные значения: m = 0, ± 1, ± 2,..., т. е. момент может быть равен

M_z= mh = 0, ± h, ± 2h,...     (19)