Большая Советская Энциклопедия (КВ)

  Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), а M_z — не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции M_z момента количества движения на ось z (задаваемой числом m), можно одновременно точно задать величину момента М, определяемую целым числом l:

M² = h²l (l + 1), l = 0, 1, 2,...     (20)

  Т. о., угловое движение даёт два квантовых числа — l и m. Число l называют орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классической механике от вытянутости орбиты). Число m называют магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения m = 0, ± 1, ± 2,..., ± l — всего 2l + 1 значений; от m энергия не зависит, т.к. само значение m зависит от выбора оси z, а поле имеет сферическую симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом l имеет (2l + 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от m лишь тогда, когда сферическая симметрия нарушается, например при помещении системы в магнитное поле (Зеемана эффект).

  При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, который имеет вид М²/2mr², как и в классической механике (здесь m — масса частицы), При этом квадрат момента M² следует заменять на величину h²l (l + 1). Решение уравнения Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число — радиальное n_r или главное n, которые связаны соотношением n = n_r + l + 1, n_r = 0, 1, 2,..., n = 1, 2, 3,... В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются формулой

E_n = ,     (21)

т. е. энергия зависит только от главного квантового числа n. Для многоэлектронных атомов в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от l.

  На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т. е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел l и m) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l = 0 (M² = 0) распределение электродной плотности сферически симметрично. Т. о., квантовое движение при малых l, совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со средним значением радиуса r ¹ 0 в некоторой степени, отвечает как бы классическому движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклоненных под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классической механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r ¹ 0). Это различие между квантовомеханическим и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (например, при l >> 1, n_r >> 1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

     (22)

  В этом случае квантовомеханические законы движения приближённо переходят в классические законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геометрической оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >> h, где pL по порядку величины равно классическому действию для системы. В этих условиях квант действия  можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханических законов в классические осуществляется при  ® 0. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханические явления, например обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.