Большая Советская Энциклопедия (МО)

Моме'нт ине'рции, величина, характеризующая распределение масс в теле и являющаяся наряду с массой мерой инертности тела при непоступательном движении. В механике различают М. и. осевые и центробежные. Осевым М. и. тела относительно оси z называется величина, определяемая равенством:

где m_i — массы точек тела, h_i — их расстояния от оси z , r — массовая плотность, V — объём тела. Величина I_z является мерой инертности тела при его вращении вокруг оси (см. Вращательное движение ). Осевой М. и. можно также выразить через линейную величину k , называемую радиусом инерции, по формуле I_z = Mk² , где М — масса тела. Размерность М. и. — L ² M ; единицы измерения — кг ×м ² или г ×см ² .

  Центробежным М. и. относительно системы прямоугольных осей х, у, z , проведённых в точке О , называют величины, определяемые равенствами:

или же соответствующими объёмными интегралами. Эти величины являются характеристиками динамической неуравновешенности масс. Например, при вращении тела вокруг оси z от значений I_xz и I_yz зависят силы давления на подшипники, в которых закреплена ось.

  М. и. относительно параллельных осей z и z' связаны соотношением

I_z = I_{z '} + М d²      (3)

где z' — ось, проходящая через центр масс тела, a d — расстояние между осями (теорема Гюйгенса).

  М. и. относительно любой, проходящей через начало координат О оси Ol с направляющими косинусами a, b, g находится по формуле:

l_ol = I _x a² + I _y b² + I _z g² — 2I _xy ab — 2I _yz bg — 2I _zx ga.     (4)

Зная шесть величин I_x , I_y , I_z , I_xy , I_yх , I_zx , можно последовательно, используя формулы (4) и (3), вычислить всю совокупность М. и. тела относительно любых осей. Эти шесть величин определяют т. н. тензор инерции тела. Через каждую точку тела можно провести 3 такие взаимно-перпендикулярные оси, называемые главными осями инерции, для которых I_xy = I_yz = I_zx = 0. Тогда М. и. тела относительно любой оси можно определить, зная главные оси инерции и М. и. относительно этих осей.

  М. и. тел сложной конфигурации обычно определяют экспериментально. Понятием о М. и. широко пользуются при решении многих задач механики и техники.

  Лит.: Краткий физико-технический справочник, под общ. ред. К. П. Яковлева, т. 2, М., 1960, с. 94—101; Фаворин М. В., Моменты инерции тел. Справочник, М., 1970; Гернет М. М., Ратобыльский В. Ф., Определение моментов инерции, М., 1969; см. также лит. при ст. Механика .

  С. М. Тарг.

Момент количества движения

Моме'нт коли'чества движе'ния, кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения . Как и для момента силы , различают М. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.

  Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv . Т. о., k _o = [r · mu ], где r — радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О , a k_z равняется проекции вектора k_o на ось z , проходящую через точку О . Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента m_o (F ) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dk_o /dt = m_o (F ). Когда m_о (F ) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется площадей закону . Этот результат важен для небесной механики, теории движения искусственных спутников Земли, космических летательных аппаратов и др.

  Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. K_o = Sk_oi , K_z = Sk_zi . Вектор K_o может быть определён его проекциями K_x , K_y , K_z на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w, K _x = — I _xz w, K _y = —I _yz w, K _z = I _z w, где l_z — осевой, а I_xz , l_yz — центробежные моменты инерции . Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то K_o = I _z w.