Большая Советская Энциклопедия (СИ)

  Установление аналитических свойств амплитуды рассеяния частиц представляет значительно более сложную задачу. Основополагающие работы в этом направлении были сделаны Н. Н. Боголюбовым на основе сформулированного им для метода S-мaтрицы принципа микропричинности. Рассмотрим реакцию упругого рассеяния, в результате которой две частицы «а» и «b» с начальными четырёхмерными импульсами p_a и p_b переходят в состояние с четырёхмерными импульсами соответственно р’_а и p'_b [четырёхмерный импульс частицы включает энергию частицы Е и её пространств, импульс р, а квадрат четырёхмерного импульса (p ²) в единицах измерения, в которых скорость света с = 1, определяется как p ² = Е ² – p ² и равен квадрату массы частицы: p ² = M ²]. Закон сохранения энергии и импульса в реакции рассеяния может быть записан в виде равенства p_a + p_b = p'_a + р’_b. Наиболее просто упругое рассеяние частиц выглядит в с. ц. и. сталкивающихся частиц. В этой системе p_a + p_b = p'_a + p’_b = 0, т. е. импульсы частиц после столкновения направлены в противоположные стороны и равны по абсолютной величине начальным импульсам:

  |p_a| = |p_b| = |p’_a| = |р’_b| (см. рис. 2).

  Амплитуда рассеяния является функцией двух переменных: энергии системы Е и угла J, на который в результате рассеяния отклоняется одна из частиц. Эти переменные могут быть выражены через 2 независимые релятивистски инвариантные величины

  s  = (p_a + p_b)² = (p’_a + p’_b)²,

  t  = (p’_a – p_a)² = (p’_b – p_b)².

  В с. ц. и. величина s равна квадрату полной энергии системы: s = (E_a + E_b)², а величина t равна (с обратным знаком) квадрату переданного (трёхмерного) импульса, t = – (p’_a – p_a)², и выражается через угол рассеяния J: t = – 2p²(1 – cosJ), где р — импульс частиц в с. ц. и. Наряду с величинами s, t вводится третья релятивистски инвариантная величина и.

  u= (р’_b – p_a)² = (р’_b – p_b)², (6’)

  которая в силу закона сохранения энергии-импульса связана с величинами s и t  соотношением: s + t + u = 2m_a + 2m_b, где ma, m_b — массы частиц «а» и «b». В процессах упругого рассеяния частиц область изменения величины s ограничена неравенством s ³ (m_a + m_b), а область изменения t — неравенствами 0 > t > -4p ². Эту область изменения переменных называется физической областью. Амплитуда рассеяния при фиксированной передаче импульса t может быть продолжена в комплексную область по энергетической переменной s и оказывается связанной с амплитудой рассеяния античастиц. Эта связь заключается в следующем. Рассмотрим наряду с реакцией упругого рассеяния какого-либо частиц, например p^±-мезонов на протонах:

  p⁺(p) + р (q) ® p⁺(p') + р (q') (I)

  (в скобках указаны четырёхмерные импульсы частиц), реакцию рассеяния

  p^-(-р) + р (q) ® p^-(-p’) + р (q), (II)

  получающуюся из (1) переносом символа p-мезона из одной части равенства в другую с одновременной заменой частицы (p⁺) на античастицу (p^-) и знаков их четырёхмерных импульсов: р ® -р, p' ® -p'. При переходе от процесса (I) к процессу (II) переменная t остаётся неизменной, а s и и меняются местами. Физической области обоих процессов соответствуют двум различным неперекрывающимся областям изменения кинематических переменных s, и. Доказательство Боголюбовым аналитичности амплитуды в комплексной плоскости переменной s позволяет утверждать, что амплитуды процессов I и II являются предельными значениями единой аналитической функции Ft (s) в разных областях изменения переменной s с разрезами на вещественной оси (рис. 4). Правый разрез определяется условием s ³ (М + m)' (где М и m, — массы протона и пиона), а левый разрез — условием u = 2M ² + 2m² - s - t ³ (M + m²). На «верхнем берегу» правого разреза Ft (s) совпадает с амплитудой T (s, t) процесса (I):

  ,

  а на «нижнем берегу» левого разреза — с амплитудой процесса (II):

  .

  Отсюда вытекает соотношение т. н. перекрёстной симметрии (или кроссинг-симметрии):

  .

  Это соотношение связывает значение амплитуды одного процесса в его физической области со значением амплитуды др. процесса вне физической области последнего. Поэтому соотношение перекрёстной симметрии не имело бы смысла, если бы не существовало продолжения амплитуды процесса (1) из его физической области на левый разрез.