Большая Советская Энциклопедия (ТЕ)

  Если p_ij = p_ji , то тензор называется симметрическим, а если p_ij = –p_ji , то — кососимметрическим (антисимметрическим). Симметрический тензор имеет шесть существенных компонент, а кососимметрический — три: ; ;  . При этом компоненты w₁ , w₂ , w₃ преобразуются как компоненты псевдовектора (см. Осевой вектор ). Вообще псевдовекторы (угловую скорость, векторное произведение двух векторов и др.) можно рассматривать как кососимметрические тензоры второй валентности. Далее, если в любой системе координат принять , , , то получится тензор, называемый единичным тензором. Компоненты этого тензора обозначаются при помощи Кронекера символа d_ij . Тензоры инерции, напряжения, единичный тензор — симметрические. Всякий тензор единственным образом разлагается на сумму симметрических и кососимметрических тензоров. Если а (r ) — вектор смещения частиц упругого тела при малой деформации, то симметрическая часть  называется тензором деформации; кососимметрическая часть  соответствует псевдовектору  (см. Вихрь векторного поля).

Тензор  является симметрическим только в том случае, когда поле а (r ) потенциально (см. Потенциальное поле ). Разложение тензора  на симметрические и кососимметрические части соответствует разложению относительного смещения da на чистую деформацию и на поворот тела как целого.

  Инвариантами тензора называются функции от его компонент, не зависящие от выбора координатной системы. Примером инварианта является след тензора p₁₁ + p₂₂ + p₃₃ . Так, для тензора инерции он равен удвоенному полярному моменту инерции относительно начала координат, для тензора  —  дивергенции векторного поля a (r ) и т. д

  3. Тензоры в аффинных координатах. Для многих задач приходится рассматривать тензорные величины в аффинных координатах (косоугольных координатах с различными единицами длины по разным осям). Положение одной аффинной системы координат относительно другой может быть описано двумя различными системами чисел: числами  равными компонентам векторов . нового базиса относительно векторов  старого базиса, и числами , равными компонентам векторов  относительно базиса . В соответствии с этим бывают тензоры различного вида: в законы преобразования одних из них входят числа , а в законы преобразования других — числа . Встречаются и тензоры, в законы преобразования которых входят как числа , так и числа . Тензоры первого вида называются ковариантными, второго — контравариантными и третьего — смешанными тензорами. Более точно, (r + х )-валентным смешанным тензором s раз ковариантным и r раз контравариантным. называют совокупность 3^r+s чисел , заданную в каждой системе аффинных координат и преобразующуюся при переходе от одной системы координат к другой по формулам:

 

При рассмотрении прямоугольных координат не приходится различать ковариантные (нижние) и контравариантные (верхние) индексы тензора, так как для двух таких систем координат .

  Коэффициенты уравнения поверхности второго порядка  образуют ковариантный тензор валентности 2, а элементы  матрицы линейного преобразования — тензор, 1 раз ковариантный и 1 раз контравариантный. Система трёх чисел x₁ , x₂ , x₃ , преобразующихся как координаты вектора x = xⁱ e_i , образует 1 раз контравариантный тензор, а система чисел, преобразующихся как скалярное произведение x_i = xe_i , образует 1 раз ковариантный тензор. Относительно преобразования аффинных координат символ Кронекера  является смешанным тензором (поэтому, в отличие от пункта 2, здесь пишут один индекс сверху, другой — снизу). Совокупность чисел g_ij = e_i e_j , где e_i — векторы базиса, образует тензор, называемый ковариантным метрическим тензором. Длина любого вектора пространства   х = xiei равна , а скалярное произведение двух векторов х и у равно g_ij xⁱ y^j . Совокупность величин g^ij таких, что , образует тензор, который называется контравариантным метрическим тензором.

  Дословно, так же как и в трёхмерном пространстве, определяются тензоры в n -мерном пространстве. Важным примером тензоров в n -мерном пространстве являются совокупности компонент поливекторов .

  Порядок следования индексов существенным образом входит в определение тензора, то есть при перестановке индексов компоненты тензора, вообще говоря, меняются. Тензор называется симметрическим по данной совокупности индексов (одного и того же уровня), если при перестановке любых двух индексов этой совокупности он не меняется. Если же при такой перестановке компоненты тензора меняют знак, то он называется кососимметрическим по этой совокупности индексов. В более общем смысле условием симметрии тензора называют любую инвариантную линейную зависимость между его компонентами.