Большая Советская Энциклопедия (ТО)

  Аналогичным («двойственным») образом, каждое топологическое пространство Y задаёт по формулам h(X) = [Y , X ], h(f) = [f j], где f : X₁ ® X ₂ и j : Y ® X ₁ , некоторый функтор h . Чтобы h(X) было группой, нужно, чтобы Y обладало определённой алгебраической структурой, в некотором точно определённом смысле двойственной структуре Н -пространства. Топологические пространства, наделённые этой структурой, называются ко-Н -пространствами. Примером ко-Н- пространства является n -мepная сфера S ⁿ (при n ³ 1 ). Таким образом, для любого топологического пространства Х формула p_n X = [S ⁿ , X ] определяет некоторую группу p_n X , n ³ 1 , которая называется n -й гомотопической группой пространства X . При n = 1 она совпадает с фундаментальной группой. При n > 1 группа p_n X коммутативна. Если p₁ X   = {1}, то Х называется односвязным.

  Клеточное пространство Х называется пространством K (G, n ), если p_i (X) = 0 при i ¹ n и p_n X = G ; такое клеточное пространство существует для любого n ³ 1 и любой группы G (коммутативной при n > 1) и с точностью до гомотопической эквивалентности определено однозначно. При n > 1 (а также при n = 1, если группа G коммутативна) пространство K (G, n ) оказывается Н -пространством и потому представляет некоторую группу H ⁿ (X ; G) = [X ; K(G, n) ]. Эта группа называется n -мepной группой когомологий топологического пространства Х с группой коэффициентов G . Она является типичным представителем целого ряда важных кофункторов, к числу которых принадлежит, например, К -функтор KO(X) = [Х , BO ], представляемый так называемым бесконечномерным грассманианом BO , группы ориентированных кобордизмов Wⁿ X и т.п.

  Если G является кольцом, то прямая сумма Н*(Х; G) групп H ⁿ (X; G) является алгеброй над G . Более того, эта прямая сумма обладает очень сложной алгебраической структурой, в которую (при G = Z_p , где Z_p — циклическая группа порядка р ) входит действие на Н*(Х; G) некоторой некоммутативной алгебры _p , называемой алгеброй Стинрода. Сложность этой структуры позволяет, с одной стороны, выработать эффективные (но совсем не простые) методы вычисления групп H ⁿ (X; G), а с другой — установить связи между группами H ⁿ (X; G) и другими гомотопически инвариантными функторами (например, гомотопическими группами p_n X ), позволяющие часто в явном виде вычислить и эти функторы.

  Исторически группам когомологий предшествовали так называемые группы гомологий H_n (X; G) , являющиеся гомотопическими группами p_n M(X, G) некоторого клеточного пространства M(X, G) , однозначно строящегося по клеточному пространству Х и группе G . Группы гомологий и когомологий в определённом смысле двойственны друг другу, и их теории по существу равносильны. Однако алгебраическая структура, имеющаяся в группах гомологий, менее привычна (например, эти группы составляют не алгебру, а так называемую коалгебру), и поэтому в вычислениях обычно пользуются группами когомологий. Вместе с тем в некоторых вопросах группы гомологий оказываются более удобными, поэтому они также изучаются. Часть алгебраических Т., занимающаяся изучением (и применением) групп гомологий и когомологий, называется теорией гомологий.

  Перенесение результатов алгебраических Т. на пространства более общие, чем клеточные пространства, составляет предмет так называемой общей алгебраической Т. В частности, общая теория гомологий изучает группы гомологий и когомологий произвольных топологических пространств и их применения. Оказывается, что вне класса компактных клеточных пространств различные подходы к построению этих групп приводят, вообще говоря, к различным результатам, так что для неклеточных топологических пространств возникает целый ряд различных групп гомологий и когомологий. Основное применение общая теория гомологий находит в теории размерности и в теории так называемых законов двойственности (описывающих взаимоотношения между топологическими свойствами двух дополнительных подмножеств топологического пространства), и её развитие было во многом стимулировано нуждами этих теорий.

4. Кусочно-линейная топология

  Подмножество Р Î  называется конусом с вершиной а и основанием В , если каждая его точка принадлежит единственному отрезку вида ab , где b Î В. Подмножество Х Î  называется полиэдром, если любая его точка обладает в Х окрестностью, замыкание которой является конусом с компактным основанием. Непрерывное отображение f : X ® Y полиэдров называется кусочно-линейным, если оно линейно на лучах каждой конической окрестности любой точки х Î X. Взаимно однозначное кусочно-линейное отображение, обратное к которому также кусочно-линейно, называется кусочно-линейным изоморфизмом. Предметом кусочно-линейной Т. является изучение полиэдров и их кусочно-линейных отображений. В кусочно-линейной Т. полиэдры считаются одинаковыми, если они кусочно-линейно изоморфны.