Большая Советская Энциклопедия (ВА)

  В своей классической постановке условия задачи Лагранжа не предусматривают никаких ограничений на управление u (t ). Выше (см. раздел Условный экстремум. Задача Лагранжа) подчёркивалась тесная связь между задачей Лагранжа и задачей управления. В рассмотренном там примере u (t ) — тяга ракетного двигателя. Эта величина подчинена ограничениям: тяга двигателя не может превосходить некоторой величины, и угол поворота вектора тяги также ограничен. В данном конкретном примере компонента uⁱ (i = 1,2,3) вектора тяги двигателя подчинена ограничениям

 

  где а^- _i и a⁺ _i — некоторые заданные числа. Подобных примеров можно привести много.

  Таким образом, в технике появилось много задач, которые сводятся к задаче Лагранжа, но при дополнительных ограничениях типа (10), записываемых в форме u Î G_u , где G_u — некоторое множество, которое, в частности, может быть замкнутым. Такие задачи получили название задач оптимального управления. В задаче Лагранжа можно исключить управление u (t ) при помощи уравнения (8) и получить систему уравнений, которая содержит только фазовую переменную х и множитель Лагранжа j . Для теории оптимального управления должен был быть разработан специальный аппарат. Эти исследования привели к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина. Он может быть сформулирован в форме следующей теоремы: для того чтобы функции  и  были решением задачи оптимального управления чтобы они доставляли минимум функционалу (9)], необходимо, чтобы u (t ) доставляла максимум функции Гамильтона

 

  где y — множитель Лагранжа (импульс), который является ненулевым решением векторного уравнения

 

  Принцип максимума позволяет свести задачу оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2n (n — размерность фазового вектора). Принцип максимума и в этом случае даёт более сильный результат, чем теорема Лагранжа, поскольку он требует, чтобы  было не стационарным значением функции Гамильтона Н, а доставляло максимум Н.

  Возможен и другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (х, t ) — значение функционала (9) вдоль оптимального решения. Тогда для того чтобы функция  была оптимальным управлением, необходимо (а в некоторых случаях и достаточно), чтобы функция s (х, t ) удовлетворяла следующему дифференциальному уравнению с частными производными:

 

  называемому уравнением Беллмана (см. Динамическое программирование ).

  Круг вопросов, которыми занимается В. и., непрерывно расширяется. В частности, всё большее и большее внимание уделяется изучению функционалов J (x ) весьма общего вида, задаваемых на множествах G_x элементов из нормированных пространств. Для задач такого рода уже трудно использовать метод вариаций. Возникли новые методы, основанные на использовании понятия конуса в банаховых пространствах, опорных функционалов и т.д.

  Уже в 19 в. была обнаружена глубокая связь между некоторыми проблемами теории уравнений с частными производными и вариационными задачами. П. Дирихле показал, что решение краевых задач для уравнения Лапласа эквивалентно решению некоторой вариационной задачи. Эта проблема привлекает к себе всё больше и больше внимания. Рассмотрим один пример.

  Предположим, что имеется некоторое линейное операторное уравнение

  Ax = f,      (11)

  где х (x, h) — некоторая функция двух независимых переменных, обращающаяся в нуль на замкнутой кривой Г. При предположениях, естественных для некоторого класса задач физики, задача отыскания решения уравнения (11) эквивалентна отысканию минимума функционала

 

  где W — область, ограниченная кривой Г.

  уравнение (11) в этом случае является уравнением Эйлера для функционала (12). Редукция задачи (11) к (12) возможна, например, если А — самосопряжённый и положительно определённый оператор. Оператор Лапласа

 

  удовлетворяет этим требованиям. Связь между проблемами для уравнений с частными производными и вариационными задачами имеет большое практическое значение. Она позволяет, в частности, устанавливать справедливость различных теорем существования и единственности и сыграла важную роль в кристаллизации понятия об обобщённом решении. Эта редукция очень важна также и для вычислит, математики, поскольку она позволяет использовать прямые методы вариационного исчисления.