Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)

  В 20-х гг. 20 в. было обнаружено, что даже в схеме последовательности одинаково распределённых и независимых случайных величин могут вполне естественным образом возникать предельные распределения, отличные от нормального. Так, например, если X ₁ время до первого возвращения некоторой случайно меняющейся системы в исходное положение, Х₂ — время между первым и вторым возвращениями и т.д., то при очень общих условиях распределение суммы X₁ +... + X_n (то есть времени до n- го возвращения) после умножения на n ¹ /^a (а — постоянная, меньшая 1) сходится к некоторому предельному распределению. Таким образом, время до n- го возвращения растет, грубо говоря, как n ¹ /^a , то есть быстрее n (в случае приложимости закона больших чисел оно было бы порядка n ).

  Механизм возникновения большинства предельных закономерностей может быть до конца понят лишь в связи с теорией случайных процессов.

  Случайные процессы. В ряде физических и химических исследований последних десятилетий возникла потребность, наряду с одномерными и многомерными случайными величинами, рассматривать случайные процессы , то есть процессы, для которых определена вероятность того или иного их течения. Примером случайного процесса может служить координата частицы, совершающей броуновское движение. В В. т. случайный процесс рассматривают обычно как однопараметрическое семейство случайных величин Х (t ). В подавляющем числе приложений параметр t является временем, но этим параметром может быть, например, точка пространства, и тогда обычно говорят о случайной функции. В том случае, когда параметр t пробегает целочисленные значения, случайная функция называется случайной последовательностью. Подобно тому, как случайная величина характеризуется законом распределения, случайный процесс может быть охарактеризован совокупностью совместных законов распределения для X (t₁ ), X (t₂ ),..., X (t_n ) для всевозможных моментов времени t₁ , t₂ ,..., t_n при любом n > 0. В настоящее время наиболее интересные конкретные результаты теории случайных процессов получены в двух специальных направлениях.

  Исторически первыми изучались марковские процессы . Случайный процесс Х (t ) называется марковским, если для любых двух моментов времени t₀ и t₁ (t₀ < t₁ ) условное распределение вероятностей X (t₁ ) при условии, что заданы все значения Х (t ) при t £ t₀ , зависит только от X (t₀ ) (в силу этого марковские случайные процессы иногда называют процессами без последействия). Марковские процессы являются естественным обобщением детерминированных процессов, рассматриваемых в классической физике. В детерминированных процессах состояние системы в момент времени t₀ однозначно определяет ход процесса в будущем; в марковских процессах состояние системы в момент времени t₀ однозначно определяет распределение вероятностей хода процесса при t > t₀ , причём никакие сведения о ходе процесса до момента времени t₀ не изменяют это распределение.

  Вторым крупным направлением теории случайных процессов является теория стационарных случайных процессов . Стационарность процесса, то есть неизменность во времени его вероятностных закономерностей, налагает сильное ограничение на процесс и позволяет из одного этого допущения извлечь ряд важных следствий (например, возможность так называемого спектрального разложения

  где z (l ) случайная функция с независимыми приращениями). В то же время схема стационарных процессов с хорошим приближением описывает многие физические явления.

  Теория случайных процессов тесно связана с классической проблематикой предельных теорем для сумм случайных величин. Те законы распределения, которые выступают при изучении сумм случайных величин как предельные, в теории случайных процессов являются точными законами распределения соответствующих характеристик. Этот факт позволяет доказывать многие предельные теоремы с помощью соответствующих случайных процессов.

  Историческая справка . В. т. возникла в середине 17 в. Первые работы по В. т., принадлежащие французским учёным Б. Паскалю и П. Ферма и голландскому учёному X. Гюйгенсу, появились в связи с подсчётом различных вероятностей в азартных играх. Крупный успех В. т. связан с именем швейцарского математика Я. Бернулли, установившего закон больших чисел для схемы независимых испытаний с двумя исходами (опубликовано в 1713).