Человеческое познание его сферы и границы

Понятие «степень правдоподобия», однако, применяется гораздо более широко, чем понятие математической вероятности; я считаю, что оно применимо к каждому предложению, за исключением тех, которые не являются ни опытными данными, ни относящимися к данным каким-либо способом, благоприятным или неблагоприятным для их признания. Я считаю, в частности, что оно применимо к предложениям, которые настолько близко, насколько это возможно, приближаются к простому выражению опытных данных. Если этот взгляд с логической точки зрения приемлем, то мы должны считать, что степень правдоподобия, приписываемая предложению, иногда сама является неким данным. Я думаю, что мы должны также считать, что степень правдоподобия, приписываемая какому-либо данному, иногда представляет собой данное и иногда (возможно, всегда) не достигает достоверности. В таком случае мы или можем считать, что есть только одно данное, именно предложение с приписываемой ему степенью правдоподобия, или же можем считать, что это данное и его степень правдоподобия являются двумя отдельными данными. Я не буду обсуждать, какой из этих двух взглядов должен быть принят.

Предложение, которое не является чем-то данным, может получить правдоподобие из многих различных источников; человек, который хочет доказать свою невиновность в преступлении, может аргументировать и исходя из алиби и из своего прежнего хорошего поведения. Основания в пользу научной гипотезы практически всегда являются сложными. Если признается, что какое-то данное может не быть достоверным, степень его правдоподобия может быть повышена каким-либо аргументом или, напротив, может быть весьма снижена каким-либо контраргументом.

Степень правдоподобия, сообщаемая доказательством не поддается простой оценке. Возьмем сначала простейший из возможных случаев, именно тот, когда посылки достоверны и рассуждение, если оно правильно, является доказательным. На каждой ступени рассуждения мы должны «видеть», что заключение этой ступени вытекает из ее посылок. Иногда это легко сделать, например, если доказательство представляет собой силлогизм модуса Barbara. В таком случае степень правдоподобия, приписываемая связи посылок и заключению, является почти достоверностью и заключение имеет почти такую же степень правдоподобия, как и посылки. Но в случае трудного математического доказательства шанс ошибки в рассуждении будет гораздо большим. Логическая связь может быть совершенно ясной для хорошего математика, тогда как для ученика она является едва заметной и то только моментами. У ученика основания для веры в правильность данной ступени рассуждения не являются чисто логическими; отчасти они являются у него аргументами от авторитета. Эти рассуждения никоим образом не являются доказательными, так как даже наилучшие математики иногда делают ошибки. При таких основаниях, как указывает Юм, заключение длинного доказательства менее достоверно, чем заключение короткого, ибо на каждой ступени имеется некоторый риска, что будет допущена ошибка.

Посредством определенного упрощающего предположения этот источник недостоверности может быть включен в сферу математической теории вероятности. Допустим, что она установила, что в определенной ветви математики хорошие математики рассуждают правильно на какой-то ступени их доказательств в отношении x от всех случаев; тогда шанс того, что они рассуждают правильно на протяжении всего хода доказательства, состоящего из n ступеней, равен х». Отсюда следует, что длинное доказательство, не проверенное повторением, содержит заметный риск ошибки, даже если x почти равен 1. Но повторение может понизить риск до очень малой величины. Все это находится в пределах математической теории.

В пределы этой теории, однако, не включается частное убеждение индивидуального математика, когда он строит рассуждение на каждой ступени. Это убеждение будет изменяться в зависимости от трудности и сложности ступени; но вопреки этой изменчивости оно должно быть таким же прямым и непосредственным, как и наша уверенность в объектах восприятия. Для того чтобы доказать, что определенная посылка имплицирует определенное заключение, мы должны «видеть» каждую ступень в рассуждении; мы не можем доказать правильность ступени иначе, как только посредством разложения ее на более мелкие ступени, каждая из которых тогда должна стать «видимой». Если не признать этого, все доказательство потеряется в бесконечном регрессе.

До сих пор я говорил о доказательном выводе, но в отношении нашего настоящего вопроса недоказательный вывод не представляет никакой новой проблемы, так как, как мы видели, даже доказательный вывод, совершаемый людьми, сообщает заключению только вероятность. Нельзя сказать даже того, что рассуждение, претендующее на доказательность, всегда придает заключению более высокую степень вероятности, чем рассуждение, которое открыто является только вероятным; в традиционной метафизике имеется много примеров этого.