Человеческое познание его сферы и границы

В этом переводе математических вероятностей в степени правдоподобия мы пользуемся принципом, в котором математическая теория не нуждается. Математическая теория просто считает случаи; а при переводе мы должны знать или допускать, что каждый случай равно правдоподобен. Необходимость в этом принципе признавалась с давних пор; он был назван принципом недостаточного основания, или (Кейнсом) принципом индифферентности. Мы рассмотрели этот принцип в связи с теорией Кейнса, а теперь мы должны рассмотреть этот принцип сам по себе. Но перед обсуждением его я хочу отметить, что он не нужен в математической теории вероятности. В этой теории нам нужно знать только численность различных классов. Этот принцип требуется только тогда, когда математическая вероятность рассматривается как мера правдоподобия.

То, в чем мы нуждаемся, есть нечто вроде следующего: «Если дан объект а, отношении которого мы хотим знать, какую степень правдоподобия приписать предложению «a есть p», и если дано, что единственно относящееся к делу знание, которое мы имеем, есть «а есть а», тогда степень правдоподобия предложения «a есть p» будет представлять собой математическую вероятность, измеряемую отношением числа членов, общих для альфа, и бета, к числу членов альфа.

Иллюстрируем это еще раз примером с самым высоким человеком в Соединенных Штатах и шансом, что он живет в штате Айова. Здесь, во-первых, мы имеет описание d, приложимое к одному и только одному человеку из числа названных людей А1, А2, … an, где n есть число жителей Соединенных Штатов. Это значит, что одно и только одно из предложений «d= Аr» (где r обозначает любого жителя от 1 до n) известно как истинное, но мы не знаем, какое именно. Если это действительно есть все наше относящееся к делу знание, то мы предполагаем, что любое из предложений «d=Ar' столь же правдоподобно, как и любое другое. В этом случае каждое имеет правдоподобие 1/n. Если в штате Айова имеется m жителей, то предложение «d живет в штате Айова» эквивалентно дизъюнкции m предложений «d= Аr» и, следовательно, имеет m раз правдоподобие любого из них, поскольку они взаимно исключают друг друга. Следовательно, оно имеет степень правдоподобия, измеряемую дробью m/n,

Конечно, в вышеприведенной иллюстрации предложения «d = Ar» не все одного уровня. Свидетельство позволяет нам исключить детей, людей низкого роста и, возможно, женщин. Это показывает, что применение этого принципа связано с затруднениями, но это не значит, что он ложен.

Случай с вытаскиванием карты из колоды ближе подходит к осуществлению условий, требуемых принципом. Здесь описание «d» есть «карта, которую я собираюсь вытащить». Все 52 карты имеют то, что мы можем рассматривать как названия: «двойка пик» и так далее Мы имеем, таким образом, 52 предложения «d = Аr», из которых одно и только одно истинно, но мы не имеем никаких данных, которые склоняли бы нас в пользу одного, а не какого-либо другого. Следовательно, правдоподобие каждого равно 1/52. Если мы это признаем, то это связывает правдоподобие с математической вероятностью.

Мы можем, следовательно, сформулировать как возможную форму «принципа индифферентности» следующую аксиому: «Если дано описание d, относительно которого мы знаем, что оно применимо к одному и только одному из объектов а1, a2, … an, и если дано, что мы не имеем знания относительно того, к какому из этих объектов приложимо это описание, тогда n предложений «d=ar» (1 меньше или равно r меньше или равно n) все равно правдоподобны и, следовательно, каждое имеет правдоподобие, измеряемое дробью 1/n».

Эта аксиома является более ограниченной, чем принцип недостаточного основания, как он обычно формулируется. Мы должны исследовать, будет ли она достаточной, а также имеем ли мы основание верить ей.

Сначала сравним вышеизложенное с принципом индифферентности Кейнса, рассмотренным нами в предшествующей главе. Вспомним, что этот принцип гласит: вероятности p и q в отношении данного свидетельства равны, если (1) свидетельство симметрично по отношению к p и q, (2) p и q «неделимы», то есть ни одно из них не является дизъюнкцией предложений той же самой формы, что и оно само. Мы решили, что это можно упростить: мы говорили, что нужно, чтобы p и q были бы значениями одной пропозициональной функции, скажем p = f(a) и q = f(b), чтобы «fx» не содержало ни a, ни b, и что, если свидетельство содержит упоминание a, скажем, в форме f(a), то оно должно также содержать y(b) и, наоборот, где yx в свою очередь не должно упоминать а или b. Этот принцип является до некоторой степени более общим, чем сформулированный в предшествующем абзаце: он имплицирует последний, но я сомневаюсь, имплицирует ли последний его. Мы, возможно, можем принять более общий принцип и переформулировать его следующим образом: «Если даны две пропозициональные функции fx и yx, ни одна из которых не упоминает о или b, или если и упоминает их, то упоминает симметрично, тогда, при данных ya и yb, два предложения fa и fb имеют равное правдоподобие».