Диалог с космическим разумом

Каждое p отличается от каждого q т.к. любое простое, общее для обоих представлений, при делении N на него давало бы целое число N′

p₁≤p₂≤…≤p_k и q₁≤q₂≤…≤ qm (2)

Кроме того, т.к. p₁≠q₁, мы можем считать, что p₁1.

Определим число P=p₁q₂…q_m. Из условия p₁ делит N и P следует, что p₁ делит N−P=(q₁−p₁)q₂…q_m>1. Поэтому мы можем записать:

N−P=p₁t₁t₂…t_h, (3)

где t_i (i=1, 2…, h) − простые числа. Если q₁−p₁>1, то мы можем также записать q₁−p₁ в виде произведения простых чисел: q₁−p₁=r₁r₂…r_s; Тогда мы получим другое представление N−P в виде произведения простых чисел, а именно:

N−P= r₁r₂…r_s q₂…q_m (4)

Мы видели, что ни одно p не равно какому-либо q. В частности, p₁ не равно никакому q. Далее ясно, что p₁ не делит q₁−p₁, и тогда p₁ не равно никакому r, так что q₁−p₁ в разложении на простые сомножители не может содержать p₁.

Таким образом, число N−P имеет два различных разложения (3) и (4) на простые сомножители. То же самое справедливо и в случае, когда q₁−p₁=1. Но 11, имеющих более одного разложения на простые сомножители».

Наше заключение: Это доказательство Цермело, начиная с выделенного жирным шрифтом места неверно, т.к. теорема ещё не доказана, но несмотря на это, формируется стороннее число, состоящее из произвольно взятых множителей, что в данном случае явно недопустимо.

Доказательство ОТА методом спуска Ферма

Итак, чтобы доказать Основную теорему арифметики, предположим, что существуют равные натуральные числа A, B, состоящие из разных простых множителей:

A = B (1)

где A = pp₁p₂ …p_n; B = хx₁x₂ …x_m ; n≥1; m≥1

В силу равенства чисел A, B каждое из них делится на любое из простых чисел p_i или x_i. Каждое из чисел A, B может состоять из любого набора простых множителей, в т. ч. и одинаковых, но при этом среди них нет ни одного p_i равного x_i, иначе в (1) они были бы сокращены. Теперь (1) можно представить, как:

pQ = xY

где p, x – минимальные простые числа среди p_i, x_i;

Q = A/p; Y = B/x (2)

Поскольку множители p, x разные, условимся, что

p>x; x = p – δ₁; тогда pQ = (p – δ₁)(Q + δ₂); где

δ₁ = p – x; δ2 = Y – Q (3)

Откуда следует:

Qδ₁ = (p – δ₁)δ₂ или Qδ₁ = xδ2 (4)

Уравнение (4) – это прямое следствие предположения (1). Правая часть этого уравнения содержит в явном виде простой множитель x. Однако в левой части уравнения (4) число δ₁ не может содержать множитель x, т.к. δ₁=p–x не делится на x из-за того, что p – простое число. Число Q также не содержит множитель x, т.к. по нашему предположению оно состоит из множителей p_i, среди которых нет ни одного равного x.

Таким образом, справа в уравнения (4) есть множитель x, а слева его нет. Тем не менее нет оснований утверждать, что это невозможно, т.к. мы изначально допускаем существование равных чисел с разными простыми множителями. Тогда остаётся лишь признать, что если существуют натуральные числа A=B, составленные из разных простых множителей, то необходимо, чтобы в этом случае существовали и другие натуральные числа A₁= Qδ₁ и B₁=xδ₂; также равные между собой и составленные из разных простых множителей. Если учитывать, что

δ₁ = (p – x) < p; δ₂ = (Y – Q) < Y

то после сопоставления уравнения (4) с уравнением (2) можно констатировать:

A₁ = B₁, где A₁1

Теперь мы получаем ситуацию, аналогичную ситуации с числами A, B, только с меньшими числами A₁, B₁. Анализируя затем (5) изложенным выше способом, мы будем вынуждены признать, что должны существовать числа

A₂=B₂, где A₂1; B₂1 (6)

Следуя этим путем, мы неизбежно придем к случаю, когда существование чисел A_k=B_k, где A_kk-1; B_kk-1 как прямое следствие предположения (1) станет невозможно. Следовательно, наше начальное предположение (1) также невозможно и таким образом теорема доказана.

Глядя на это очень простое и даже элементарное доказательство методом спуска, естественно, возникают недоуменные вопросы, как же это могло так случиться, что в течение многих веков наука не только это доказательство не получила, но и была в полном неведении, что у неё нет никакого доказательства вообще?

С другой стороны, даже заблуждаясь в этом вопросе, т.е. считая, что эта теорема была доказана ещё Евклидом, как наука могла её игнорировать, используя «комплексные числа» и обрекая себя тем самым на разрушение изнутри? И наконец, как же можно объяснить, что эта очень простая, по сути, теорема, на которой держится вся наука, вообще не преподаётся в средней школе?

Что же касается метода спуска, то данное доказательство является одним из самых простых примеров его применения, что встречается довольно редко из-за широкой универсальности этого метода. Гораздо чаще для применения метода спуска требуется большое напряжение мысли, чтобы подвести под него логическую цепь рассуждений. С этой точки зрения могут быть поучительны и некоторые другие особые примеры решения задач этим методом.

Вопрос 10

Теперь после того, как доказательство Основной Теоремы арифметики получено, что это стало возможно только как следствие создания фундамента в виде определения сущности числа и его аксиоматики (границ знаний), что предопределило разработку соответствующих методов, в частности метода спуска Ферма, без которых многие задачи не получают решения.

Однако для практического освоения метода спуска, только одного доказательства ОТА недостаточно и здесь опять требуется помощь Космического разума. Можно ли к тому, что мы уже получили, добавить ещё несколько задач по методу спуска, а также указать какие ещё существуют самые общие методы, кроме него?

Пьер Ферма был от рождения подключён к системе знаний Космического разума, хотя сам он об этом вряд ли даже догадывался. Если бы к тому времени Французская академия наук уже была создана, то он был бы там востребован и добился бы феноменальных успехов. Однако эта академия была создана только в 1866 г., т.е. через год после его смерти, тем не менее, он успел передать туда список наиболее значимых своих задач.

Кроме того, он оставил своему сыну Клеману Самюэлю рукописи своих работ, подготовленные для публикации, а также дал указание сохранить весь его письменный архив, чтобы на тот случай, если семья будет испытывать лишения, можно было бы получать дополнительные доходы от продажи оригиналов его рукописей.

К теоремам Ферма, которые доказываются методом спуска, прежде всего относятся: Золотая теорема о многоугольных числах; Теорема о простых числах вида 4n+1; Теоремы о квадратах 25, 4, и 121; Теорема о любом неквадратном числе. Ещё один универсальный подход к доказательствам – это метод ключевой формулы, который применим, в частности, к доказательству его самой знаменитой Последней теоремы Ферма, до сих пор остающейся недоказанной.

Эта же теорема может быть доказана ещё и методом чётности в сочетании с методом подъёма, действующим как обратный метод спуска, а также совсем простое доказательство можно получить методом делимости. Методом подъёма можно очень просто доказать не решённые до сих пор задачи, относящиеся к гипотезе Эйлера – Гольдбаха о представлении любого натурального числа суммой двух или трёх простых чисел.

Наши комментарии

После публикации работ Ферма к нему было много упрёков со стороны учёных относительно того, что он не оставил нам ни одного доказательства своих теорем. Это выглядит довольно смешно, потому что, как обычно, никто даже не задумывается о том, что если бы он так поступил, то всем его достижениям была бы грош цена, т.к. его задачи просто растворились бы в тысячах других решённых задач, и наука так и осталась бы на уровне каменного века.

Впрочем, в действительности так оно и случилось, но разница в том, что задачи Ферма оставили такой яркий след в науке, что уже нет никаких сомнений в том, что наука даже в лице самых выдающихся учёных всё-таки не справилась с этими задачами, а смогла лишь продемонстрировать свою первобытную отсталость.

Это проявилось прежде всего в том, что наша наука развивалась в направлении умения вычислять, в то время как Ферма предлагал путь развития науки в направлении умения мыслить. Как мы уже отмечали выше, умение мыслить развивает только одна наука – это арифметика. Однако по факту она была вытеснена алгеброй, при активном участии в этом самого выдающегося учёного всех времён Леонарда Эйлера, написавшего великолепный научный трактат «Полное введение в алгебру», который и решил судьбу арифметики.

Конечно, было бы очень глупо обвинять в этом Эйлера, которому с высоты своего могущественного таланта было явно не с руки заниматься вопросами определения сущности понятия числа, что для него выглядело чистой формальностью. Тем не менее, факт остаётся фактом, именно Эйлер решил задач Ферма больше всех других учёных. Но беда в том, что он решил их совсем не так, как это сделал бы сам Ферма.

Это можно показать на следующих примерах

Теорема Ферма о простых числах вида 4n+1

Простое число типа 4n+1 представляется единственной гипотенузой прямоугольного треугольника.

Доказательство Эйлера

(1) Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.

Это утверждение немедленно следует из тождества

(a²+b²)(c²+d²)=(ac−bd)²+(ad²+bc²)²

(2) Если число, представимое в виде суммы двух квадратов, делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также является суммой двух квадратов.

Предположим, например, что a²+b² делится на простое число вида p²+q² которое также простое. Тогда p²+q² делит

(pb−aq)(pb+aq)=p²b²−a²q²=p²b²+p²a²−p²a²−a²q²=p²(a²+b²)−a²(p²+q²)

Поскольку это число простое, оно обязано делить либо pb−aq, либо pb+aq. Предположим сначала, что p²+q² делит pb+aq. Тогда из тождества (a²+b²)(p²+q²)=(ap−bq)²+(aq²+bp²) следует, что p²+q² должно делить также и (ap−bq)². Следовательно, обе части этого тождества можно разделить на квадрат числа p²+q², и в результате получится требуемое выражение (a²+b²)/(p²+q²) в виде суммы двух квадратов. Второй случай, когда p²+q² делит pb−aq, можно рассмотреть аналогичным образом, используя тождество

(a²+b²)(p²+q²)=(ap−bq)²+(aq²+bp²)

(3) Если число, представимое в виде суммы двух квадратов, делится на число, которое не является суммой двух квадратов, то частное имеет делитель, который не представим суммой двух квадратов.

По существу, это противоположное к (2) утверждение. Предположим, что x делит a²+b² и что разложение частного на простые множители имеет вид p₁p₂…p_n. Тогда a²+b²=xp₁p₂…p_n. Если бы все множители p₁p₂…p_n были представимы в виде суммы двух квадратов, то a²+b² можно было бы последовательно разделить на p₁p₂…p_n, и из утверждения (2) мы получили бы, что каждое частное, до x включительно, представимо в виде суммы двух квадратов. Следовательно, если x не является суммой двух квадратов, то хотя бы один из простых множителей p₁p₂…p_n не представим в виде суммы двух квадратов.

(4) Если a и b взаимно просты, то каждый делитель числа a²+b² является суммой двух квадратов.

Пусть x – делитель a²+b². Представим a и b в виде a=mx±c, b=nx±d, где c и d не превосходят x/2 по абсолютной величине. Тогда a²+b²=m²x²±2mxc+c²+n²x²±2nxd+d²=Ax+(c²+d²) делится на x, поэтому c²+d² должно делиться на x, скажем c²+d²=yx. Если c и d имеют общий делитель, больший единицы, то он не может делить x, поскольку тогда он делил бы a и b, что противоречит предположению.

Следовательно, обе части равенства c²+d²=yx можно сократить на квадрат наибольшего общего делителя чисел c и d и получить равенство вида e²+f²=zx. Кроме того, z≤x/2, поскольку zx= e²+f²≤c²+d²≤(x/2)²+(x/2)²=x²/2. Если бы x не был суммой двух квадратов, то согласно (3), нашёлся бы такой делитель числа z (обозначим его w), который нельзя представить суммой двух квадратов.

Но это привело бы к бесконечному спуску – переходу от числа x, которое не является суммой двух квадратов, но делит сумму двух квадратов двух взаимно простых чисел, к меньшему числу w, обладающему такими же свойствами. Следовательно, x должен быть суммой двух квадратов.

(5) Каждое простое число вида 4n+1 является суммой двух квадратов.

Следующее доказательство этого утверждения Эйлер впервые сообщил в письме к Гольдбаху в 1749 г. Если p=4n+1 – простое число, то согласно теореме Ферма, каждое из чисел 1, 2⁴ⁿ, 3⁴ⁿ, … (4n)⁴ⁿ, на единицу больше некоторого кратного p. (Следующее за (4n)⁴ⁿ число p⁴ⁿ делится на p, а все последующие числа от (p + 1)⁴ⁿ до (2p − 1)⁴ⁿ, на единицу больше некоторого кратного p, и т.д.).

Следовательно, все разности 2⁴ⁿ−1, 3⁴ⁿ−2⁴ⁿ, … (4n)⁴ⁿ−(4n−1)⁴ⁿ делятся на p. Каждую из этих разностей можно разложить в произведение a⁴ⁿ−b⁴ⁿ=(a²ⁿ+b²ⁿ)(a²ⁿ−b²ⁿ) и p, как простое число, обязано делить один из множителей. Если хотя бы в одном из 4n – 1 случаев оно делит первый множитель, то, ввиду (4) и взаимной простоты данного числа и следующего за ним, p является суммой двух квадратов. Поэтому достаточно доказать, что p не может делить все 4n–1 чисел 2²ⁿ−1, 3²ⁿ−2²ⁿ, …, (4n)²ⁿ−(4n−1)²ⁿ.

Это легко доказать следующим образом. Если бы p делило все эти числа, то оно делило бы и все 4n–2 разности следующих друг за другом чисел, все 4n–3 разности этих разностей, и т.д. Но нетрудно убедиться, что k-е разности последовательности 1^k, 2^k, 3^k, 4^k… постоянны и равны k! (см. табл. 3).

Таким образом, все 2n-е разности последовательности 1, 2²ⁿ, 3²ⁿ, 4²ⁿ, … равны (2n)! и, следовательно, не делятся на p=4n+1. Если бы p делило первые 4n−1 первых разностей 2²ⁿ−1, 3²ⁿ−2²ⁿ, …, (4n)²ⁿ−(4n−1)²ⁿ, то оно делило бы и первые 4n−2n 2n-х разностей, что не имеет места. Следовательно, p не делит хотя бы одну из этих 4n−1 первых разностей, что и требовалось показать.

Как мы видим, это доказательство Эйлера предваряется не только доказательствами утверждений (1) – (4), но и доказательством знаменитой Малой теоремы Ферма, которую к тому времени ещё никто, кроме самого Эйлера, не доказал, но на которую он ссылается в последнем утверждении (5).

С точки зрения подхода, это доказательство, особенно в последней его части (5), представляется нам слишком трудным и поэтому есть вероятность того, что в самой логике такого сложного построения может скрываться очень малозаметная ошибка. Оно также ярко демонстрирует тот факт, что в данном случае вся логика Эйлера основана вовсе не на базовых свойствах понятия числа, а только на последовательности вычислений

Это особенно ярко проявилось в том, что в данном доказательстве Эйлера просто отсутствует доказательство единственности двух квадратов, о которых идёт речь в оригинальной формулировке теоремы Ферма. В частности, в своей книге о Великой теореме Ферма её автор Эдвардс просто не заметил этого факта, т.к. в формулировке Эйлера это слово отсутствует, хотя в оригинале текста Ферма оно есть.

Карл Гаусс в своих «Арифметических исследованиях» утверждает, что Эйлер всё-таки получил и даже опубликовал это доказательство в отдельном издании. Однако искать это издание пока просто негде, т.к. полное собрания сочинений Эйлера только готовится в издательстве Шпрингер Ферлаг, и в лучшем случае оно может появиться лет эдак через пятьдесят. Поэтому мы не будем дожидаться столь грандиозного события, а просто дадим элементарное решение этой проблемы методом ключевой формулы и будем считать, что это и есть доказательство Эйлера. Пусть нам дана следующая задача:

Найти все решения уравнения z³=x²+y².

Мы будем исходить из того, что обязательным условием (ключевой формулой) должно быть z=a²+b², т.к. правая часть исходного уравнения не может быть получена иначе как произведение чисел, каждое из которых является суммой двух квадратов. Этот вывод основан на том, что произведение чисел, состоящих из суммы двух квадратов, во всех случаях даёт число, также состоящее из суммы двух квадратов. Верно и обратное: если дано составное число, состоящее из суммы двух квадратов, то оно не может иметь простые множители, не состоящие из суммы двух квадратов. В этом легко убедиться из тождества

(a²+b²)(c²+d²)=(ac+bd)²+(ad−bc)²=(ac−bd)²+(ad+bc)²

Тогда из

(a²+b²)(a²+b²)=(aa+bb)²+(ab−ba)²=(a²−b²)²+(ab+ba)²

следует, что квадрат числа, состоящего из суммы двух квадратов, даёт не два разложения на сумму двух квадратов, (как это должно быть в соответствии с тождеством), а только одно, поскольку (ab−ba)²=0, что не является натуральным числом. Теперь из

a²−b²=c; ab+ba=2ab=d; (a²+b²)²=c²+d² следует итоговое решение:

z³=(a²+b²)³=(a²+b²)(c²+d²)=x²+y²

где a, b любые натуральные числа, а все остальные вычисляются как c=a²−b²; d=2ab; x=ac−bd; y=ad+bc (либо x=ac+bd; y=ad−bc). Таким образом, мы установили, что исходное уравнение z³=x²+y² имеет бесчисленное множество решений в целых числах, а для конкретных заданных чисел a, b – два решения. Этот пример также доказывает, почему одна из теорем Ферма утверждает, что

Простое число типа 4n+1 и его квадрат только один раз раскладываются на сумму двух квадратов, его куб и биквадрат два раза, его пятая и шестая степени три и т.д. до бесконечности.

Что же касается метода спуска Ферма, то он представляется Эйлеру как чисто техническая операция в виде последовательности вычислений, а вот сам Ферма видел в этом методе очень широкие перспективы, поскольку он в буквальном смысле позволяет проникать во всю бесконечность целиком. Известный литературный персонаж Козьма Прутков утверждал, что невозможно объять необъятное, однако теперь выясняется, что Ферма его опроверг. Вот что он пишет о методе спуска и том, как можно доказать данную теорему:

Доказательство Ферма

Если некоторое простое число, которое превосходит на единицу кратное 4-х, не состоит из двух квадратов, то имеется простое число той же природы, меньшее данного, а затем третье, ещё меньшее, и т.д. спускаясь до тех пор, пока не придёте к числу 5, которое является наименьшим из всех чисел этой природы. Оно, следовательно, не может состоять из двух квадратов, что, однако имеет место. Отсюда можно заключить путём доказательства от противного, что все простые числа этой природы должны состоять из двух квадратов.

Если бы к этой простой логике Ферма добавил бы ещё и одно простое уравнение, то Эйлер быстро бы догадался, как можно его задействовать, чтобы получить требуемые для доказательства вычисления, которые исключали бы вероятность логической ошибки и были бы намного проще, чем те, которые ему удалось получить.

Мы могли бы довести это доказательство Ферма до конца, но для нашей науки от этого не было бы никакой пользы, поскольку в ней отсутствуют базовые знания и практика решения подобных проблем. Поэтому мы ограничимся только подсказкой в виде следующей общей формулы числа, состоящего из суммы двух квадратов:

aa+bb=4q+4t/2+1

где a и b натуральные числа;

q и t квадратное и треугольное числа;

t=k(k+1) =1+2+3+4 …

q=mm=1+3+5+7 …

Теперь остаётся только показать, что среди всех простых чисел, вида 4n+1 нет ни одного не соответствующего этой формуле.

Золотая теорема Ферма

Всякое натуральное число равно

одному, двум или трём треугольникам,

одному, 2, 3 или 4 квадратам,

одному, 2, 3, 4 или 5 пятиугольникам,

и так до бесконечности.

До сих пор молчаливо считалось, что эту теорему доказал Огюстен Коши в 1815 г. Однако, после того как Google опубликовал факсимиле этого издания, нам стало очевидно, что это доказательство относится к той категории, когда оно понятно только его автору. Один только факт, что доказательство занимает 43 печатных страницы, отбивает всякое желание в нём разбираться.

Чтобы доказать ЗТФ достаточно просто, вначале мы укажем на существование особых натуральных чисел, которые представляются не менее, чем из k k-угольных чисел и обозначим их как S-числа. Например, для треугольников – это 5, 8, 14, для квадратов – 7, 15, 23, для пятиугольников – 9, 16, 31 и т.д. И вот такое простое наше наблюдение позволяет двигаться к цели напрямую, т.е. не задействуя хитроумные приёмы или мощную «остроту ума».

Теперь предположим обратное, т.е. что существует некое минимальное натуральное число N, представляемое не менее, чем из k+1 k-угольных чисел. Тогда понятно, что это наше предполагаемое число должно находиться между какими-нибудь k-угольными числами m_i и m_i+1 и может представляться как

N = m_i + δ₁, где δ₁ = N− m_i (1)

Вполне очевидно, что δ₁ должно быть S-числом, поскольку иначе это будет противоречить нашему предположению о числе N. Далее мы поступаем также, т.е. представляем предполагаемое число как

N = m_i-1 + δ₂= m_i-2 + δ₃; где δ₂ = N − m_i-1; δ₃ = N − m_i-2 и т.д.

Очевидно, что δ₂, δ₃ и т.д. также должны быть S-числами. И вот так мы будем двигаться по спуску до самого конца, т.е. до

δ_i-1 = N − m2 = N − k и δ_i = N − m₁ = N – 1 (2)

Таким образом, в последовательности чисел от δ₁ до δ_i все они должны быть S-числами, в то время как наше предполагаемое число N будет состоять не менее чем из k+1 k-угольных чисел.

Из (1) и (2) следует:

N−m_i =S_i (3)

Следовательно, если отнимать от нашего предполагаемого числа N любое меньшее его многоугольное число m_i, то согласно нашему предположению, в результате должно получаться только S-число. Конечно, это условие выглядит просто невероятным и создаётся впечатление, что мы уже у цели, но как же тогда доказать, что это невозможно?

Если бы мы дали здесь ответ на этот вопрос, то эта знаменитая теорема Ферма сразу превратилась бы в самую обычную школьную задачку и интерес к ней был бы утрачен. Чтобы этого не произошло, мы пока остановимся на том, что доказательство изложено здесь только на 99%, а остающийся 1% мы предложим найти тем, кому это будет интересно, чтобы оценить истинное великолепие этого научного достижения Ферма. Однако для следующей знаменитой теоремы Ферма мы дадим доказательство методом спуска в полном объёме.

Теорема Ферма о единственном квадрате

Существует только один целый квадрат, который, увеличенный на два, даёт куб, этот квадрат равен 25.

Когда по предложению Ферма теорему попытался доказать лучший английский математик того времени Джон Валлис (John Wallis), то он был очень сильно раздосадован и вынужден признать, что не может это сделать.

Более двух веков считалось, что решение этой задачи получил Леонард Эйлер, но его доказательство основано на «комплексных числах», а мы-то знаем, что это вовсе не числа, т.к. они не подчиняются Основной теореме арифметики.

И только в конце ХХ века Андрé Вейль (André Weil) с помощью метода порождения треугольников Виета, всё-таки сумел получить доказательство. Это был большой прогресс, т.к. здесь использован чисто арифметический метод, однако применительно к данной задаче он слишком сложен для понимания.

Мог ли Ферма решить эту задачу проще? Ответ на этот вопрос мы извлечём из нашего опыта решения подобных задач, представленных выше. Итак, мы имеем уравнение p³=q²+2 с очевидным решением p=3, q=5. Для доказательства утверждения Ферма, предположим, что существует ещё одно решение P>p=3, Q>q=5, которое удовлетворяет уравнению

P³ = Q² + 2 (1)

Поскольку очевидно, что Q>P, то пусть

Q = P + δ (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

P²(P – 1) – 2δP – δ² = 2 (3)

Здесь нам потребуется самая малость «остроты ума», чтобы заметить, что δ>P, иначе уравнение (3) невыполнимо. Действительно, если сделать пробу δ=P, то слева (3) будет: P²(P – 4) > 2, что не подходит. Следовательно, должно существовать число

δ₁ = δ –P. Тогда, подставляя δ = P + δ₁ в (3), получим

P²(P–4)–4δ₁P–δ₁² = 2 (4)

Теперь-то мы непременно заметим, что δ₁>P, иначе по той же логике, что и выше, слева (4) мы получим: P²(P–9)>2, что опять-таки не подходит, тогда, должно существовать число δ₂=δ₁–P, и подставляя δ₁=P+δ₂ в (4), получим:

P²(P–9)–6δ₂P–δ₂²=2 (5)

Вот здесь-то уже можно совсем не сомневаться, что так будет продолжаться без конца и края. Действительно, путем проб δ_i=P каждый раз мы получаем P²(P−K_i)>2. Каким бы ни было число K_i, это уравнение невыполнимо, поскольку если K_i

3, то P²(P−K_i)>2, а если K_i≥P, то такой вариант исключается, т.к. тогда P²(P−K_i)≤0.

Продолжать так явно бессмысленно, следовательно, наше начальное предположение о существовании других решений P>3, Q>5 неверно и эта теорема Ферма доказана.

Имея это доказательство, даже школьники без труда смогут доказать ещё одну теорему Ферма:

Существуют только два целочисленных квадрата, которые, увеличенные на 4, дают кубы, эти квадраты будут 4 и 121.

Иными словами, уравнение p³=q²+4 имеет только два решения в целых числах.

Задача Ферма о любом неквадратном числе

Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат.

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433. Способ, как вычислить требуемые решения, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида для разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum». Однако Валлис сделал только вычисления требуемых решений, но не доказал, что его метод применим для любых заданных неквадратных чисел.

Публикация Валлиса привлекла внимание Эйлера, который не увидел другого способа решения этой задачи Ферма, чем тот, который предложил Валлис. Но по-другому и быть не могло, поскольку оба были алгебраисты, а Эйлер как раз и стремился к тому, чтобы свести решения всех арифметических задач к алгебре. Он почти вплотную приблизился к доказательству, когда показал, что эта дробь Эвклида цикличная, однако ему также не удалось довести его до конца, и в конечном итоге его получил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».

В своём комментарии к этой задаче Ферма пишет: Я признаю, что г-н Френикль дал различные частные решения этого вопроса, а также г-н Валлис, но общее решение будет найдено с помощью метода спуска, применённого умело и надлежащим образом.

Отсюда следует, что Ферма, хотя и признал достижения Френикля и Валлиса, все же считал метод спуска более эффективным. Однако, не то, что для того времени, но и для сегодняшней науки метод спуска Ферма остаётся непреодолимым препятствием, т.к. непреложным фактом является то, что до сих пор никто из математиков не знает, как можно его применять. А не знают они только потому, что им просто неоткуда это узнать, т.к. первичных знаний в виде «Начал арифметики», аналогичных «Началам» геометрии Евклида, у науки никогда не было.

Но для нас это не проблема в очередной раз продемонстрировать, как это делается, поскольку мы это уже делали выше. В данном случае нам нужно решить уравнение ax² +1 = y², где a – заданное неквадратное число. В этом уравнении нужно найти наименьшие x и y, удовлетворяющие этому уравнению. Для значений числа a, предложенных Ферма (61, 109, 149, и 433), x и y очень велики, поэтому вычислить их методом проб было бы нереалистично. Однако здесь можно применить метод спуска следующим образом:

Вначале вычисляется число b₁ = q – a, где q ближайший квадрат, больший a. Например, для числа 61 ближайший квадрат равен 64, откуда b₁=3. После этого, можно составить последовательность спуска в виде цепочки уравнений:

ax₁² +3 = y₁², где x₁ < x; y₁ < y

ax₂² +9 = y₂², где x₂ < x₁; y₂ < y₁

ax₃² +27 = y₃², где x₃ < x₂; y₃ < y₂

…

ax_i² +bⁱ= y_i²

Среди этих уравнений есть такое, где легко вычисляются числа x_i и y_i, поэтому, зная как получена эта цепочка, можно двигаться обратно вверх до исходного уравнения, т.е. до получения требуемых чисел x и y. Но это знание мы здесь не раскрываем и вовсе не потому, что хотим сохранить это в секрете, а только с целью дать возможность всем желающим научиться мыслить самостоятельно. Ведь арифметика – это единственная наука, которая этому учит, в отличие от всех других наук.

Для тех, кто всё-таки желает получить это знание, остаётся только одна возможность – дождаться создания и публикации «Начал арифметики», где способ вычисления будет разъяснён полностью и тем самым, будет очень просто доказано, что он действителен для любых неквадратных чисел.

Решение уравнения Пифагора

Мы исходим из того, что Великая теорема Ферма стала следствием того, что вначале он поставил себе задачу найти решение уравнения a²+b²=c² без применения тождества (x²+y²)²=(x²−y²)²+(2xy)². Чтобы получить все решения, нужно взять два любых натуральных числа x и y и вычислить a=x²−y²; b=2xy; c= x²+y², которые будут удовлетворять исходному уравнению. Эйлер доказал, что это тождество даёт абсолютно все существующие решения уравнения Пифагора, но для Ферма это было неинтересно, т.к. отсюда нельзя извлечь ничего полезного с точки зрения развития арифметики как науки, обучающей умению мыслить.

Конечно, такие вычисления полезны, скажем, для строителей, которым, например, часто нужно знать длину диагонали при известной длине сторон прямоугольника, или для школьников, решающих задачи с треугольниками. Но Ферма не был ни тем, ни другим, а фактически он был первооснователем арифметики, которая по своему совершенству ничем не уступала геометрии Евклида.

Вначале у Ферма появилась идея преобразовать уравнение Пифагора в алгебраическое квадратное уравнение. Это можно сделать исходя из того, что числа a и b меньше числа c. Отсюда следует:

a = с−δ₁ и b = с−δ₂; (с−δ₁)² + (с−δ₂)² = с²

В результате мы получим квадратное уравнение с неизвестным числом c и константами δ₁ и δ₂:

c² – 2(δ₁ + δ₂)c + (δ₁² + δ₂²) = 0 (1)

Теперь, чтобы решить (1) в целых числах, нужно дискриминанту D сделать квадратом целого числа. В данном случае это выглядит:

D=(δ₁+δ₂)²−(δ₁²+δ₂²)=2δ₁δ₂=2(c−a)(c−b)=4m²

откуда следует

(c−a)(c−b)=2m² (2)

где m – натуральное число.

Теперь нужно решить уравнение (2), для чего можно применить самый радикальный способ, а именно, в выражение решения уравнения (1) подставить D=4m². Тогда получится удивительно простое уравнение:

a + b – c = 2m (3)

Это явно не решение уравнения Пифагора, т.к. здесь присутствуют все три неизвестные a, b, c. Следовательно, остаётся только один путь к решению, а именно, использовать уравнение (3) как ключевую формулу. Самый простой способ получить решение – это возвести обе стороны уравнения (3) в квадрат. Тогда получим:

{a²+b²−c²}+2(c−b)(c−a)=4m² (4)

Подставляя уравнение Пифагора в (4), получаем:

A_iB_i=2m2 (5)

где с учетом формулы (2) мы имеем:

A_i=c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m (6)

Теперь раскладываем на простые множители число 2m², чтобы получить все варианты A_iB_i. Для простых чисел m всегда есть только три варианта: 1×2m²=2×m²=m×2m. В этом случае A₁=1; B₁=2m²; A₂=2; B₂=m²; A₃=m; B₃=2m. Поскольку из (6) следует a=A_i+2m; b=B_i+2m; а из (3) c=a+b−2m; то в итоге получаем три решения:

1. a₁=2m+1; b₁=2m(m+1); c₁=2m(m+1)+1

2. a₂=2(m+1); b₂=m(m+2); c₂= m(m+2)+2 (7)

3. a₃=3m b₃=4m; c₃=5m

Как мы видим, если для одного решения в тождестве Пифагорейцев нужно задавать два натуральных числа, то в полученном решении (7) достаточно задать только одно простое число m, чтобы получить сразу три решения.

Если же число m составное, то соответственно увеличивается и число решений. В частности, если m состоит из двух простых множителей, то число решений возрастает до девяти.

Например, если m=p₁p₂, то кроме первых трех решений будут ещё другие:

A₄=p₁; B₄=2p₁p₂²; A₅=p₂; B₅=2p₁²p₂; A₆=2p₁; B₆=p₁p₂²

A₇=2p₂; B₇=p₂p₁²; A₈=p₁²; B₈=2p₂²; A₉=p₂²; B₉=2p₁²

Итак, решение получено и теперь от него может создаться впечатление, что оно излишне усложнено и что вычислять числа Пифагора намного проще посредством указанного выше тождества. Однако это впечатление ложное, т.к. никакое тождество не может ни способствовать развитию науки, ни развивать мышление. А вот данное решение уравнения Пифагора позволяет делать сразу и то, и другое. В частности, мы можем предложить теперь три теоремы для развития абстрактного мышления школьников.

Теоремы о волшебных числах

Теорема 1. Для любого натурального числа n можно вычислить сколько угодно троек из разных натуральных чисел a, b, c, таких, что n=a²+ b²–c².

Например:

n=7=6²+14²–15²=28²+128²–131²=568²+5188²–5219²=

=178328²+5300145928²–5300145931² и т. д.

n=34=11²+13² –16²=323²+3059²–3076²=

=247597² +2043475805²–2043475820² и т. д.

Смысл этой теоремы в том, что если существует бесконечное множество пифагоровых троек, образующих ноль в виде: a²+b²−c²=0, то ничто не мешает создавать таким же образом и любое другое целое число. Из текста теоремы следует, что числа с такими свойствами «можно вычислить», поэтому она очень полезна для использования её в целях обучения детей в школе. Мы в данном случае будем рекомендовать для школьных учебников не раскрывать доказательство этой теоремы, т.к. иначе её образовательное значение будет утрачено, а дети, которые могли бы проявить здесь свои способности, лишатся такой возможности.

Также нужно поступить и с теоремами 2 и 3, которые будут уже для настоящих волшебников, а потому и значительно более трудные. Ключ к их доказательству находится в доказательстве теоремы 1, причём он лежит там на виду буквально у всех под носом, но он так искусно скрыт от непосвящённых, что увидеть его дано не всем. Если же не последовать нашей рекомендации и доказательства теорем 1, 2, 3 опубликовать в учебниках, то дети уже не смогут сами своими силами разгадать секрет волшебной сказки.

Итак, из теоремы 1 теперь следует:

Теорема 2. Для любого натурального числа n существует как минимум одна тройка волшебных чисел a, b, c, таких, что n=a²+b²–c²=a+b–c. Например,

n=2063=3094²+4126²–5157²=3094+4126–5157

n=65387=98080²+130774²–163467²=98080+130774–163467

Если предыдущая теорема мало отличается от решения уравнения Пифагора, то эта теорема даже чисто внешне выглядит очень удивительно и даже нереалистично, однако данные примеры демонстрируют, что это так. Эти примеры указывают лишь на то, что для некоторых чисел эта теорема верна, но если она будет доказана, то станет понятно, как можно без особых усилий делать вычисления для любых сколь угодно больших чисел. Вопрос о доказательстве может стать очень сложным не только для детей, но и умудрённых опытом профессоров. Но у детей шансов всё-таки больше, поскольку они не отяжелены балластом прошлых знаний.

Основная польза от таких теорем не в том, чтобы задействовать их в каких-то практических вычислениях, а в том, что они будят мысль и развитие у людей творческих способностей, хотя непременно найдутся и такие случаи, когда можно очень эффективно применять такие необычные конструкции из чисел, например, в целях шифрования информации. Однако только вот такое потребительское отношение к знаниям лишает их духовного наполнения и не даёт достаточного простора для живого творчества. Без такого наполнения наука становится мёртвой и неспособной пробуждать к себе никакого интереса. В такой науке просто не было бы места для вот такой потрясающей и в высшей степени замечательной теоремы.

Теорема 3. Можно вычислить сколько угодно натуральных чисел n_i, составленных из i троек волшебных чисел.

Например:

n₃=8=9²+36²−37²=9+36−37=10²+22²−24²=10+22−24=

=12²+15²−19²=12+15−19

n₄=17=18²+153²−154²=18+153−154=19²+85²−87²=19+85−87=

=21²+51²−55²=21+51−55=25²+34²−42²=25+34−42

n₅=9=10²+45²−46²=10+45−46=11²+27²−29²=11+27−29=

12²+21²−24²=12+21−24=13²+18²−22²=13+18−22=15²+15²−21²=

=15+15−21

n₆=24=25²+300²−301²=25+300−301=26²+162²−164²=

=26+162−164=27²+116²−119²=27+16−119=28²+93²−97²=

=28+93−97=30²+70²−76²=30+70−76=36²+47²−59²=

=36+47−59

n₇=48=49²+1176²−1177²=49+1176−1177=50²+612²−614²=

50+612−614=51²+424²−427²=51+424−427=52²+330²−334²=

52+330−334=54²+236²−242²=54+236−242=56²+189²−197²=

=56+189−197=72²+95²−119²=72+95−119

Эти теоремы демонстрируют не только достоинства применения метода ключевой формулы, с помощью которой было получено решение уравнения Пифагора, но и предваряют настоящий переворот в арифметике хотя бы потому, что земная наука, которая до сих пор, т.е. в течение трёх с половиной столетий не смогла получить доказательство Великой теоремы Ферма, теперь наконец-то может это сделать.

Великая теорема Ферма

Доказательство методом ключевой формулы

Для любого заданного натурального числа n>2 не существует ни одной тройки натуральных чисел a, b и c, удовлетворяющих уравнению aⁿ + bⁿ = cⁿ (1)

Чтобы доказать это утверждение, предположим, что числа a, b, c, удовлетворяющие (1), существуют и тогда, исходя из этого, мы можем получить все без исключения решения этого уравнения в общем виде. С этой целью мы задействуем метод ключевой формулы, при котором к исходному уравнению добавляется ещё одно уравнение, чтобы стало возможно получить решение (1) в системе из двух уравнений. В нашем случае ключевая формула имеет вид:

a + b = c + 2m (2)

где m натуральное число.

Для получения формулы (2) отмечаем, что a≠b, т.к. иначе 2aⁿ=cⁿ, что очевидно невозможно, т.к. число слева нестепенное. Следовательно, an-1+b^n-1)>c^n-1, откуда следует (a+b)>c. Поскольку в (1) случаи с тремя нечётными a, b, c, а также с одним нечётным и двумя чётными невозможны, то числа a, b, c могут быть либо все чётные, либо два нечётных и одно чётное. Тогда из (a+b)>c следует формула (2), где число 2m чётное.

Используя изложенный выше способ получения решений (1) для случая n=2, можно точно также получить решения и для степеней n>2, выполнив подстановку (1) в (2), и возведя предварительно обе стороны (2) в степень n. Чтобы это можно было сделать, выведем вначале следующую формулу:

(x+y)ⁿ=zⁿ=zz^n-1=(x+y)z^n-1=xzz^n-2+yz^n-1=

=x(x+y)z^n-2+yz^n-1=x²zz^n-3+y(z^n-1+xz^n-2)+…

(x±y)ⁿ=zⁿ=xⁿ±y(x^n-1+x^n-2z+x^n-3z²+…+xz^n-2+z^n-1) (7)

Формула (7) называется «Бином Ферма». Любопытно, что это же название появилось в 1984 году в романе советского писателя-фантаста Александра Казанцева «Острее шпаги». Эта формула не является тождеством, т.к. в отличие от тождества бинома Ньютона, в ней, кроме слагаемых присутствует отдельным числом ещё их сумма, однако с помощью Бинома Ферма легко вывести многие полезные тождества, в частности, разложение на множители суммы и разности двух одинаковых степеней.

Назовём выражение в скобках, состоящее из n слагаемых, «симметричный полином» и будем представлять его в виде (x++z)_n как сокращённый вариант написания. Теперь по формуле (7) возведём обе стороны формулы (2) в степень n следующим образом.

[a−(c−b)]ⁿ= aⁿ+{bⁿ−cⁿ+(cⁿ−bⁿ)}−(c−b)[a^n-1+a^n-22m+ …

… + a(2m)^n-1+(2m)^n-1]=(2m)ⁿ

Затем посредством тождества

(cⁿ−bⁿ)=(c−b)(c^n-1+c^n-2b+…+cb^n-2+b^n-1)

получаем:

{aⁿ+bⁿ−cⁿ}+(c−b)[(c++b)_n−(a++2m)_n]=(2m)ⁿ (8)

Уравнение (8) является формулой (2), возведённой в степень n, в чём можно убедиться, если подстановкой c−b=a−2m в (8) получить тождество:

{aⁿ+bⁿ−cⁿ}+(cⁿ−bⁿ)−[aⁿ−(2m)ⁿ]=(2m)ⁿ (9)

В данном случае тождество (9) свидетельствует о том, что в преобразованную ключевую формулу (2) подставляется эта же ключевая формула, или что полученное нами уравнение (8) есть ключевая формула (2), возведённая в степень n.

В этом тождестве натуральные числа a, b, c, n, m, естественно, могут быть любыми. Вопрос только в том, есть ли среди них такие, что {aⁿ+bⁿ−cⁿ} равно нулю? Однако аналогия с решением уравнения Пифагора на этом и заканчивается, т.к. подстановка (1) в (8), никак не обоснована. И действительно, при подстановке (1) в (3) хорошо известно, что уравнение Пифагора имеет сколько угодно решений в натуральных числах, а для случаев n>2 такого факта нет ни одного. Следовательно, не исключается подстановка в (8) несуществующего уравнения (1), что должно привести к противоречиям.

Тем не менее, такая подстановка легко выполнима и в итоге получится уравнение, похожее на то, которое даёт решения уравнения Пифагора. Учитывая это обстоятельство, мы в качестве пробы всё-таки подставим (1) в (8), но при этом модифицируем (8) так, чтобы за квадратные скобки был вынесен ещё один множитель (c−a) следующим образом.

(c++b)_n−(a++2m)_n=

=с^n-1− a^n-1+c^n-2b− a^n-22m+c^n-3b²− a^n-3(2m)²+…+b^n-1−(2m)^n-1

с^n-1−a^n-1 = (с−a)(c++a)_n-1

c^n-2b−a^n-22m = 2m(c^n-2− a^n-2) + c^n-2(b−2m) =

=(c−a)[2m(c++a)_n-2+c^n-2]

c^n-3b²− a^n-3(2m)² = (2m)²(c^n-3− a^n-3)+ c^n-3(b²−4m²) =

=(c−a)[4m²(c++a)_n-3+c^n-3(b+2m)]

b^n-1−(2m)^n-1=(b−2m)(b++2m)_n-1=(c−a)(b++2m) _n-1

Все разности чисел, кроме первой и последней, можно задать в общем виде: c^xb^y−a^x(2m)^y =

(2m)^y(c^x−a^x)+c^x[b^y−(2m)^y]=

=(c−a)(c++a)_x(2m)^y+(b−2m)(b++2m)_yc^x =

=(c−a)[(c++a)_x(2m)^y+(b++2m)_yc^x]

И отсюда уже понятно, каким образом число (с−a) выносится за скобки. Аналогично можно вынести за скобки множитель a+b=c+2m. Но это возможно только для нечётных степеней n. В этом случае уравнение (10) будет иметь вид

A_iB_iC_iD_i=(2m)ⁿ, где

A_i=c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m; C_i=a+b=c+2m

D_i – полином степени n−3

В итоге после выноса за скобки с−a мы получаем:

A_iB_iE_i=(2m)ⁿ (10)

где A_i = c−b=a−2m; B_i=c−a=b−2m; E_i – полином степени n−2.

Уравнение (10) является призраком, который видится явно только на фоне предположения, что число {aⁿ+bⁿ−cⁿ} сокращено при подстановке (1) в (8). Но стоит его хотя бы один раз тронуть, как оно сразу рассыпается в прах. Например, если

A_i×B_i×E_i=2m²×2^n-1m^n-2

то, как один из вариантов может быть такая система:

A_iB_i=2m²; E_i=2^n-1m^n-2

В этом случае, как мы уже установили выше, из A_iB_i=2m² следует, что для любого натурального числа m решениями уравнения (1) должны быть числа Пифагора. Однако при n>2, эти числа явно не подходят, а проверить какой-то другой случай уже нет никакой возможности, т.к. в данном случае, (как и при любом другом варианте отсутствия решений), другая подстановка будет уже точно неправомерна и уравнение-призрак (10), из которого только и можно получить решения, исчезает.

Уравнение (10) может существовать только если выполняется (1), т.е. {aⁿ+bⁿ−cⁿ}=0, поэтому любой вариант с отсутствием решений приводит к исчезновению этого уравнения-призрака. И в частности, не проходит «опровержение» о том, что неправомерно искать решение при любых комбинациях множителей, поскольку A_iB_i=2m² может противоречить E_i=2^n-1m^n-2, когда приравнивание E_i к целому числу не всегда даёт целые решения из-за того, что полином степени n−2, (остающийся после выноса за скобки множителя c−a), может в этом случае не состоять только из целых чисел. Однако этот довод не опровергнет сделанный вывод, а наоборот усилит его ещё одним противоречием, т.к. E_i состоит из тех же чисел, (a, b, c, m) что и A_i,B_i, где нецелых чисел быть не может.

Поскольку прецедент с неудачной попыткой получения решений уже создан, то можно не сомневаться в том, что и все другие попытки получить решения из (10) будут неудачными, из-за того, что как минимум в одном случае условие {aⁿ+bⁿ−cⁿ}=0 не выполняется, т.е. уравнение (10) получено подстановкой несуществующего уравнения Ферма (1) в ключевую формулу (2). Следовательно, натуральные числа a, b, c, удовлетворяющие уравнению (1) при n>2, не могут существовать, и Великая теорема Ферма доказана.

Доказательство ВТФ методом чётности

Метод чётности

Определение чётности как числа

Из основной теоремы арифметики следует простая, но очень эффективная идея определения чётности как числа, которое формулируется следующим образом:

Чётность данного числа – это количество делений этого числа на два без остатка до тех пор, пока результат деления станет нечётным.

Введем условное обозначение чётности угловыми скобками. Тогда выражение ‹x›= y будет означать: чётность числа икс равна игрек. Например, выражение «чётность числа сорок равна трём» можно представить как: ‹40› = 3. Из данного определения чётности следует:

– Чётность нечётного числа равна нулю.

– Чётность нуля равна бесконечно большому числу.

– Любое натуральное число n можно представить как:

n = 2^w(2N – 1) где N – основание натурального числа,

w – четность.

Попутно, мы представим здесь также очень эффектные формулы для разложения на множители и на слагаемые функций чисел в степени, выведенные с помощью Бинома Ферма.

Разложение степени суммы и разности двух чисел на слагаемые (Бином Ферма)

(a ± b)ⁿ = cⁿ =aⁿ ± b(c ++ a)_n где

(c ++ a)_n = c^n-1 + c^n-2a + c^n-3a² + … + ca^n-2 + a^n-1=

= nc^n-1– (c – a)c^n-2– (c² – a²)c^n-3–…– (c^n-1 – a^n-1)

Разложение суммы и разности двух степеней на множители

Для любых натуральных степеней

aⁿ – bⁿ =(a – b)(a ++ b)_n =

=(a – b)(a^n-1 + a^n-2b + a^n-3b² + … + a²b^n-3 + ab^n-2 + b^n-1)

Только для нечётных степеней

aⁿ + bⁿ =(a + b)(a + – b)_n =

=(a + b)(a^n-1 a^n-2b + a^n-3b2 … + a²b^n-3 ab^n-2 + b^n-1)

Только для чётных степеней

aⁿ – bⁿ = (a + b)(a + – b)_n =

(a + b)(a^n-1 – a^n-2b + a^n-3b2 – a^n-4b3 + … +ab^n-2 – b^n-1)

Делимость суммы и разности двух степеней

Для любых натуральных степеней

(an 1):(a 1) = (a ++ 1)n = a0 + a¹ + a² + a³ + …+ a^n-1

Только для нечётных степеней

(an + 1):(a + 1) = (a + – 1)_n = a0 – a1 + a² – a3 + … + a^n-1

Только для чётных степеней

(an – 1):(a – 1) = (a –+ 1)n = – a⁰ + a¹ – a² + a³ – … + a^n-1

Неполное разложение суммы и разности двух степеней на слагаемые

aⁿ + bⁿ = (a + b)a^n-1 – ab(a^n-2 + b^n-2 ) + (a + b)b^n-1

aⁿ – bⁿ = (a – b)a^n-1 + ab(a^n-2 – b^n-2) + (a – b)b^n-1

aⁿ + bⁿ = (a + b)a^n-1 + b(b^n-1 – a^n-1)

aⁿ + bⁿ = (a + b)b^n-1 + a(a^n-1 – b^n-1)

aⁿ – bⁿ = (a – b)an-1 + b(a^n-1 – b^n-1)

aⁿ – bⁿ = (a – b)bn-1 + a(a^n-1 – b^n-1)

a(an-1 – b^n-1) = (a + b)an-1 – ab(an- 2 + b^n-2)

a(an-1 – b^n-1) = (a – b)an-1 + ab(an- 2 – b^n-2)

(a + b)(a^n-1 + b^n-1) = (aⁿ + bⁿ) + ab(a^n-2 +b^n-2)

(a – b)(a^n-1 – b^n-1) = (aⁿ + bⁿ) – ab(a^n-2 + b^n-2)

(a + b)(a^n-1 – b^n-1) = (aⁿ – bⁿ) + ab(a^n-2 – b^n-2)

(a – b)(a^n-1 + b^n-1) = (aⁿ – bⁿ) – ab(a^n-2 – b^n-2)

Закон четности

На основе приведенного выше определения чётности можно констатировать, что равные числа имеют равную чётность. Применительно к какому-либо уравнению это положение относится к его сторонам и безусловно необходимо для того, чтобы оно могло иметь решения в целых числах. Отсюда следует закон чётности для уравнений:

Уравнение может иметь решения в целых числах в том и только в том случае, если чётности обеих его сторон равны.

Математическое выражение закона чётности W_L = W_R, где W_L и W_R – соответственно чётности левой и правой сторон уравнения. Отличительная особенность закона чётности заключается в том, что о равенстве чисел нельзя судить по равенству их чётности, но если их чётности не равны, то это безусловно означает и неравенство чисел.

Правила вычисления четности

Чётность суммы или разности двух чисел a и b

Если ‹a› < ‹b› , то ‹a ± b› = ‹a›

Отсюда следует, в частности, что сумма или разность чётного и нечётного числа всегда даёт число с нулевой чётностью.

Если ‹a› = ‹b› = x, то:

либо ‹a + b› = x + 1, при этом ‹a – b› > x + 1

либо ‹a – b› = x + 1, при этом ‹a + b› > x + 1

Эти формулы обусловлены тем, что

‹(a + b) + (a – b)› = ‹2a› = ‹a› + 1

Отсюда следует также, что сумма или разность двух чётных или двух нечётных чисел дает чётное число.

Чётность суммы или разности двух чисел aⁿ и bⁿ

Если ‹a› < ‹b› , то ‹aⁿ ± bⁿ› = ‹aⁿ›.

Если ‹a› = ‹b› = x, то:

только для чётных n:

‹an – bⁿ› = ‹a – b› + ‹a + b› + x(n – 2) + ‹n› – 1

‹aⁿ + bⁿ› = xn + 1

только для нечётных n:

‹aⁿ ± bⁿ› = ‹a ± b› + x(n – 1)

При умножении натуральных чисел их чётности складываются

‹ab› = ‹a› + ‹b›

При делении натуральных чисел их чётности вычитаются

‹a : b› = ‹a› – ‹b›

При возведении натурального числа в степень его чётность умножается на степень

‹a^b› = ‹a› × b

При извлечении корня натурального числа его чётность делится на степень корня

‹› = ‹a› : b

Доказательство ВТФ

Чтобы доказать ВТФ методом чётности, мы рассмотрим исходное уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ со всеми возможными вариантами чётности входящих в него чисел:

a) числа c, n чётные, числа a, b нечётные

b) число c чётное, числа n, a, b нечётные

c) числа c, a нечётные, числа n, b чётные

d) число b чётное, числа n, a, c нечётные

Вариант a) для случая, когда чётная степень n чётного числа c раскладывается на сумму двух таких же степеней.

С точки зрения поиска решений уравнения исходного уравнения Ферма можно считать числа a, b и c взаимно простыми, т.е. не имеющими общих делителей, которые можно сократить. Тогда при чётном числе c, числа a и b должны быть нечётными. В этом случае исходное уравнение Ферма с чётными степенями можно рассматривать как уравнение Пифагора:

C² = A² + B²; где A = a^n/2; B = b^n/2; C = c^n/2

Тогда решения получаются из условия:

(C – A)(C – B) = 2M²; где 2M = A + B – C

Здесь множители (C – A) и (C – B) нечётные, т.е. W_L = 0, в то время как W_R > 0, т.к. содержит множитель 2.

Следовательно, W_L < W_R и в рассматриваемом случае исходное уравнение Ферма не имеет решений в натуральных числах из-за нарушения закона четности.

Этот же результат можно получить и другим способом. Исходное уравнение можно представить как:

(2a₁+1)ⁿ+(2b₁+1)ⁿ = 2ⁿc₁ⁿ

где 2a₁+ 1 = a; 2b₁+ 1 = b; 2c₁ = c

Преобразуем его следующим образом:

(2a₁ + 1)n + (2b₁ +1)n = (2a₁ + 1)a^n-1 + (2b₁ + 1)b^n-1 =

= 2a₁(a^n-1 + an-2 + … + a2 + a) + (2a₁ + 1) +

+ 2b₁(b^n-1 + b^n-2 + … + b² + b) + (2b₁ + 1)

В итоге получим:

2ⁿc₁ⁿ= 2a₁(a^n-1+ a ^n-2 + … + a + 1) + 2b₁(b^n-1 + b^n-2 + b + 1)+ 2

Здесь выражения в скобках чётные, т.к. содержат чётное количество нечётных слагаемых. Следовательно, во всех случаях, (даже при n = 2), в этом уравнении W_R = 1; W_L > 1 и закон чётности не выполняется.

Вариант b) для случая, когда нечётная степень n чётного числа c раскладывается на сумму двух таких же степеней.

По формуле бинома Ферма одна из сторон исходного уравнения раскладывается на множители:

сⁿ = aⁿ + bⁿ = (a + b)(a +– b)_n

В соответствие с законом четности и, поскольку полином

(a + – b)_n нечетный, т.к. состоит из нечетного количества нечетных слагаемых, то должно выполняться условие:

‹a+b› = ‹cⁿ›

Из ключевой формулы также следует:

‹2m› = ‹(a + b) – c› = ‹c›

Разложим теперь исходное уравнение Ферма на слагаемые с помощью формулы бинома Ферма и ключевой формулы c–a=b–2m следующим образом:

bⁿ = cn – aⁿ =

=(c – a)(c ++a)n = (a – 2m) (c ++ a)_n+ (b – a)(c ++ a)_n

Отсюда следует:

b(b^n–1 – a^n–1) = (a – 2m)(c^n–1+ c^n–2a +…+ ca^n–2) – 2ma ^n–1 +

+ (b – a)(c^n–1+ c^n–2a +…+ ca^n–2)

Чётность левой стороны полученного уравнения определяется по формуле:

W_L = ‹bⁿ¹ aⁿ¹› = ‹a + b› + ‹n – 1› = ‹cⁿ› + ‹n – 1› > ‹cⁿ›

Для определения четности правой стороны уравнения сначала установим, что

‹(a 2m)(c²aⁿ3 + caⁿ²) 2maⁿ¹› > ‹c²›

В подробностях это выглядит следующим образом:

‹(a2m)(c²a^n-3+ca^n-2)2ma^n-1› =

= ‹c²a^n-22mc²a^n-3+ca^n-12mca^n-22ma^n-1› =

= ‹a^n-3(c²a 2mc² +ca² 2mca 2ma²)› =

= ‹c²a + ca² 2mc² 2mca 2ma²› =

= ‹c²a+ca² (a+b–c)c² 2mca(a+bc)a²› =

= ‹c²a(a+bc)c(c+a)(a+b)a²› =

= ‹c²a+c²(c+a)(a+b)c(c+a)(a+b)a²› =

=‹c²(c+2a)c(a+b)(c+a)(a+b)a²› =

=‹c²(c+2a)› = ‹c²› + ‹c+2a› > ‹c²›

Поскольку из условия

‹a+b›=‹cⁿ›>1 следует, что ‹ba›=‹b+a2a›=‹2a›=1

то четность правой стороны будет:

W_R = ‹(b – a)ca^n–2› = ‹c› + 1 ≤ ‹c²› < ‹cⁿ›

W_L > W_R , т.е. закон четности не выполняется и решения в целых числах уравнения Ферма в рассмотренном варианте b) невозможны.

Вариант с) для случая, когда чётная степень n чётного числа b раскладывается на разность двух таких же степеней с нечётными основаниями, т.е. bⁿ=cⁿ– aⁿ.

Этот вариант сводится к случаю доказательства ВТФ для n=4, который распространяется на все случаи с чётными степенями. Здесь нам пригодится тождество Пифагорейцев, которое доказывает этот случай одним уравнением:

[(a²)² + (b²)²]² = [(a²)²–(b²)²]² + [2a²b²]²

Как мы видим, применительно к уравнению Ферма c⁴=a⁴+b⁴ тождество Пифагорейцев невыполнимо, т.к. число 2a²b² не может быть квадратом, следовательно, как минимум одно из слагаемых из трёх не может быть четвёртой степенью.

Вариант d) для случая, когда нечётная степень n чётного числа b раскладывается на разность двух таких же степеней с нечётными основаниями, т.е. bⁿ=cⁿ– aⁿ. В этом случае расчёт чётности сторон исходного уравнения не может быть выполнен из-за неопределённости в конечном звене цепочки вычислений. Тем не менее, условие чётности

‹bⁿ› = ‹cⁿ– aⁿ› = ‹(c – a)(с + – a)_n› = ‹c – a›

является достаточным основанием для получения логической цепочки выводов о невозможности решений в исходном уравнении Ферма. В качестве дополнительного условия можно принять

Δ=cⁿ–aⁿ–bⁿ=0.

Если ВТФ верна, то это последнее условие должно быть невыполнимо. Если мы будем проверять его для всех чисел подряд, то мы быстро запутаемся.

Однако мы можем использовать условие чётности, что позволит нам делать проверку только для таких нечётных чисел c и a, чтобы чётность разности c – a была не менее n. Для доказательства ВТФ нам будет достаточно проверить выполнение условия только для n=3, ‹c–a›=2³ и ‹c–a›=4³. Результаты вычислений представлены в табл. 4.

Как мы видим, минимальное значение Δ=48. При минимальном значении ‹c–a›=2³=8показатель Δ уверенно растёт до нескольких тысяч, а при ‹c–a›=4³=64 показатель Δ измеряется от тысяч до десятков тысяч. Легко убедиться, что для степени n=5 минимальное значение Δ будет измеряться в миллионах. Следовательно, случай с Δ=0 недостижим и ВТФ доказана. Это уже второе наше доказательство «недоказуемой» веками теоремы.

Оба этих доказательства нельзя назвать совсем простыми, однако знаний даже сегодняшней средней школы будет достаточно, чтобы в них разобраться. Но если бы встал вопрос о получении самого простого доказательства ВТФ, то мы могли бы предложить

третий вариант доказательства с помощью только одного тождества:

cⁿ– aⁿ=(c – a)(с^n-1+c^n-2a+c^n-3a²+… +ca^n-2+ a^n-1)

Чтобы получить самое простое доказательство ВТФ из всех возможных других, теперь будет достаточно доказать, что правая сторона этого тождества не может быть степенью в натуральных числах bⁿ.

С нашей стороны было бы очень глупо сделать это здесь, т.к. мы лишили бы такой возможности всех желающих самим получить этот результат. Однако несомненно, что теперь у всех появится вопрос о том, почему же мы потратили столько усилий, чтобы изложить два совсем непростых варианта доказательства на 10 печатных страницах формата A5, вместо того чтобы на пол странице дать самый простой вариант?

Наш ответ такой же простой, как и этот вариант. Если бы у нас был только он один, то:

– Наука не получила бы решение уравнения Пифагора;

– А также три детские теоремы о волшебных числах;

– Наука ничего не знала бы о формуле Бинома Ферма;

– Также ничего наука не знала бы о методе чётности;

– Метод подъёма также остался бы вне науки;

– Наука не получила бы вообще ничего для своего развития.

Более того, это тождество, из которого можно получить самый простой вариант доказательства, было известно ещё во времена Ферма и с тех пор, никто так и не сумел им воспользоваться. А если бы мы дали это доказательство ВТФ здесь, то нашим представителям земной науки ничего не оставалось бы, как только в недоумении развести руками.

Впрочем, остаётся ещё надежда на то, что наука наконец-то поймёт, в каком неприглядном виде она предстаёт не только в глазах Космического разума, но и в нашей земной действительности. Вместо системы знаний, мы имеем только сваленные в одну кучу самые разные околонаучные исследования, в которых неизменно отсутствуют определения базовых понятий. Выход из такого состояния очень простой – нужно просто подготовить и издать всего лишь одну книгу под названием «Начала арифметики», отдельные контуры которой мы уже здесь представили.

Гипотеза Эйлера-Гольдбаха о суммах простых чисел

Любое чётное число – это сумма двух простых, а любое нечётное – либо простое, либо сумма трёх простых.

В 1742 году математик Христиан Гольдбах  послал письмо Леонарду Эйлеру, в котором он высказал следующее предположение: каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел. Эйлер заинтересовался проблемой и выдвинул более сильную гипотезу: каждое чётное число, большее двух, можно представить в виде суммы двух простых чисел.

Очевидно, что достаточно доказать эту гипотезу только для чётных чисел и тогда она автоматически будет верна для нечётных. Но видимо дьявол заколдовал её и поэтому все математики в поисках доказательства двигались в прямо противоположном направлении, т.е. стремились получить доказательство для нечётных чисел.

Кроме того, никто из математиков не смог объяснить скрытого подвоха в вопросе, почему именно простые числа получают в данной гипотезе роль слагаемых, а не факторов, как им более свойственно? В результате неумелых подходов к решению проблемы она до сих пор не доказана. Тем не менее, очень легко убедиться, что в действительности гипотеза Эйлера-Гольдбаха очень простая и её можно легко доказать, используя метод подъёма.

Здесь мы приведём лишь итоговые результаты применения этого метода, которые наглядно показывают, что данная гипотеза избыточна и по мере возрастания чисел её избыточность может только возрастать

Эту таблицу мы продолжим, в табл. 6, исходя из данных о количестве простых чисел в каждом диапазоне.

По образцу этой проделанной нами работы, её могут выполнить в полном объёме все желающие, однако у нас есть большие сомнения, что такие желающие найдутся.