Древнеарийская философия том 1 и том 2

Нетрудно увидеть, что исходная формула перемножения двух тензооктанионов отличается от привычных правил алгебры алгоритмом раскрытия скобок. Отличие состоит в наличии последнего, пятого члена.

В формуле (ФМ1.2) у элементов перемножаемых тензооктанионов отсутствуют «звёздочки», определяющие в обозначении каждой компоненты тензооктаниона её тип. Данный факт не является ошибкой автора, а следствием того, что формула (ФМ1.2) представляет собой основу преобразований или применяемый во всех случаях «каркас».

Формулы трансформации результатов умножений. Подобный «каркас» и приведённые ниже «формулы трансформации результатов умножений» позволяют разобраться в любой относящейся к делу ситуации. Опираясь на них, и нужно определять тип компонент результата перемножения двух тензооктанионов в их базовой классификации.

В самом общем случае, при перемножении двух тензооктанионов, каждый из них следует разбить на две части, являющиеся их контравариантными и ковариантными компонентами. Далее, следует применять исходную формулу умножения тензооктанионов столько раз, сколько нужно, не забывая производить трансформацию.

Начнём изложения формул трансформации результатов умножений с обсуждения правил умножения временных частей тензооктанионов. Все они сведены в формулы блока формул (ФМ1.3).

(ФМ1.3)

Коснёмся правил умножения, связанных со скалярным произведением пространственных компонент тензооктанионов. Соответствующие формулы приведены в формулах блока формул (ФМ1.4)

(ФМ1.4)

В алгебре тензооктанионов имеются умножения, дающие в результате различные компоненты пространственного типа. Подобные умножения определяются формулами блока формул (ФМ1.5).

(ФМ1.5)

Наличие в исходной формуле умножения двух тензооктанионов векторного произведения выделяет связанные с ними правила умножения. Данные правила перечисляются в формулах блока формул (ФМ1.6).

(ФМ1.6)

Имеется возможность перестановки слагаемых в скалярном произведении пространственных компонент тензооктанионов. Итоги таких перестановок приведены в формулах блока формул (ФМ1.7).

(ФМ1.7)

Разумеется, слагаемые могут переставляться и в векторном произведении. Подобные перестановки подчиняются правилам, записанным в виде формул блока формул (ФМ1.8).

(ФМ1.8)

Необходимо напомнить ещё раз, что в рамках алгебры тензооктанионов с действительными числами, которыми, также являются и временные контравариантные компоненты тензооктанионов, можно совершать любые действия, предусмотренным алгебраическими правилами. Здесь нет необходимости заботиться о трансформации получаемых результатов, и данный факт часто будет использоваться в дальнейшем без специальных оговорок.

Операция упрощения. Одно из главных преимуществ использования алгебры тензооктанионов перед тензорным исчислением даёт органически связанная с алгеброй тензооктанионов операция упрощения. Она, хотя и не имеет аналога в тензорном исчислении, но может быть объяснена с его позиций.

Дело в том, что в тензорном исчислении тензор иногда представляют таблицей определённой размерности. Тензооктанион, в зависимости от его свойств, также можно представить в виде такой таблицы.

Условимся называть подобное представление тензооктаниона «тонкой структурой тензооктаниона». Она бывает полезной при определении законов преобразования тензооктанионов при смене системы координат.

Очень важно то обстоятельство, что, если не учитывать расположение отдельных элементов в представляющей её упомянутой исходной таблице, тонкая структура тензооктаниона представима в виде некоторой суммы. Вдобавок, все такие слагаемые, сгруппированные по образующим, дают «упрощённую структуру тензооктаниона».

Условимся переход от тонкой структуры тензооктаниона к упрощённой структуре тензооктаниона называть «операцией упрощения». Один из примеров её применения показан в формуле (ФМ1.9).

(ФМ1.9)

Компоненты упрощённой структуры тензооктаниона выражаются через элементы его тонкой структуры. В рассматриваемом случае такая связь определяется формулами блока формул (ФМ1.10).

(ФМ1.10)

На первый взгляд может показаться, что наличие двух слагаемых с образующей 1 является ошибкой. Но, коль скоро алгоритмы их получения отличаются друг от друга, то имеет смысл разделять такие слагаемые.

В принципе в рамках операции упрощения один и тот же тензооктанион можно получить из разных тонких структур. Подобная неоднозначность снимается правила преобразования при смене системы координат.

Покажем одно применение операции упрощения. С такой целью перемножим два контравариантных тензооктаниона. Начальный шаг данной операции умножения приведён в соотношении (ФМ1.11).

(ФМ1.11)

Произведём трансформацию правой части соотношения (ФМ1.11). Подобный шаг позволит на базе соотношения (ФМ1.11) записать формулу (ФМ1.12).

(ФМ1.12)