Древнеарийская философия том 1 и том 2

Первое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть результат применения к первому слагаемому правой части соотношения (ФМ1.11) первой формулы блока формул (ФМ1.3). Второе слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) получается из второго слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) при учёте первой формулы блока формул (ФМ1.4), а третье слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть следствие преобразования третьего слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) на базе первой формулы блока формул (ФМ1.5).

Четвёртое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть результат применения к четвёртому слагаемому правой части соотношения (ФМ1.11) второй формулы блока формул (ФМ1.5). Пятое слагаемое правой части соотношения (ФМ1.12) есть следствие преобразования пятого слагаемого правой части соотношения (ФМ1.11) на базе первой формулы блока формул (ФМ1.6).

Однако, тот же результат можно получить, используя общеизвестную для математиков операцию тензорного произведения тензорного анализа, с последующим применением к полученному результату операции упрощения. Рассматривая первый тензооктанион как вектор-столбец, а второй тензооктанион как вектор-строку, получаем результат тензорного произведения в формуле (ФМ1.13).

(ФМ1.13)

Элементарная проверка показывает, что от правого выражения формулы (ФМ1.13) можно перейти к правому выражению формулы (ФМ1.12). Конечно же, такой переход делается при помощи операции упрощения.

Двойное векторное произведение. В алгебре тензооктанионов, как и в векторном анализе, для пространственных компонент тензооктанионов можно определить операцию двойного векторного произведения. Специфика алгебры тензооктанионов, конечно же, накладывает на неё свой оттенок.

Исходная формула. В качестве основы, разумеется, следует взять формулу двойного векторного произведения векторного анализа. Она приведена как формула (ФМ1.14).

(ФМ1.14)

Одной формуле двойного векторного произведения векторного анализа соответствуют её 8 (восемь) модификаций в алгебре тензооктанионов. В свою очередь каждая модификация формулы имеет по 4 (четыре) варианта своей реализации.

Требующиеся результаты. В настоящей книге из всего отмеченного разнообразия станут использоваться только 4 (четыре) формулы. Они записаны как формулы блока формул (ФМ1.15).

(ФМ1.15)

Формулы блока формул (ФМ1.15) будут доказываться путём трансформации их левых и правых частей с последующей проверкой на совпадение полученных результатов между собой. С учётом данного обстоятельства и формулы (ФМ1.14) станут подбираться знаки слагаемых правых частей доказываемых формул.

Первая формула блока формул (ФМ1.15). Рассмотрим выражение левой части первой формулы блока формул (ФМ1.15). Согласно третьей формуле блока формул (ФМ1.6), компонента [b^*,c_*] тензооктаниона является пространственной контравариантной компонентой со знаком минус.

Первая формула блока формул (ФМ1.6) показывает, что компонента [a_*.[b^*,c_*]] тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком минус. Поэтому после трансформации первое слагаемое правой части первой формулы блока формул (ФМ1.15) должно иметь знак минус, а второе знак плюс.

Учитывая первую формулу блока формул (ФМ1.4) приходим к выводу о том, что компонента (a_*,c_*) тензооктаниона оказывается временной контравариантной компонентой со знаком минус. По причине действительного характера временных контравариантных компонент, производим упрощённую трансформацию.

В результате, первое слагаемое правого выражения первой формулы блока формул (ФМ1.15) b^*(a_*,.c_*) оказывается пространственной контравариантной компонентой со знаком минус. Что и требовалось доказать.

Учитывая вторую формулу блока формул (ФМ1.4), получаем, что компонента (a_*,b^*) тензооктаниона является временной ковариантной компонентой со знаком плюс. Опираясь на пятую формулу блока формул (ФМ1.5), заключаем, что компонента (a_*,b^*)c_* тензооктаниона оказывается пространственной ковариантной компонентой со знаком минус.

Однако, вспоминая о том, что второе слагаемое правой части первой формулы блока формул (ФМ1.15) само имеет знак минус, получаем, что оно является ковариантной компонентой пространственного типа со знаком плюс. Полученный результат завершает доказательство истинности первой формулы блока формул (ФМ1.15).

Вторая формула блока формул (ФМ1.15). Рассмотрим выражение левой части второй формулы блока формул (ФМ1.15). Первая формула блока формул (ФМ1.6) свидетельствует, что компонента [b_*,c_*] тензооктаниона является пространственной ковариантной компонентой со знаком плюс.