Экономические истоки диктатуры и демократии (Экономическая теория). 2015

Все индивиды в этом обществе максимизируют свое потребление, равное их доходу после выплаты налогов и обозначаемое у' (т) для индивида i при уровне налогообложения т. Применяя ограничение государственного бюджета (IV.4), мы получаем, что, когда ставка налога — т, косвенная полезность индивида — i и его доход после выплаты налогов суть:

V(y^,\x) = y^,(T)

(IV.5)

= (1-т)У +Т = (1-т)У + (х-С(х))у.

Функция косвенной полезности обусловливается только одной переменной политических мер, т, потому что мы элиминйровали единовременный трансфер Г, используя (IV.4). Мы также делаем его обусловленным у', потому что в оставшейся части книги полезно сохранять этот доход явным. Таким образом, мы используем обозначение V(y' |т) вместо V'(x).

В более общем плане индивиды также осуществляют экономический выбор, зависящий от переменных мер государственной политики. В этом случае, для того чтобы сконструировать V(y‘ | т), сначала необходимо найти для индивида / оптимальные экономические решения, учитывая значения переменных мер государственной политики, и затем определить индуцированные предпочтения относительно этих мер при данных оптимально принятых решениях [Persson, Tabellini, 2000, р. 19-21].

Вывести идеальную ставку налога для каждого индивида / из этой функции косвенной полезности просто. Вспомним, что она определяется как ставка налога т', которая максимизирует V(y' |т). При допущениях, сделанных относительно С(т), V(y\\ т) строго вогнута и дважды последовательно дифференцируема. Эта ставка налога тогда может быть выведена просто из задачи неограниченной максимизации, так что нам нужно установить производную от V(y' |т) по отношению к т, равному нулю. Другими словами, т' должен удовлетворять условию первого порядка:

(IV.6)

или

у’ + (l-C'(x'))y <0 ит' =0,

что мы написали, открыто подчеркивая дополняющую нежесткость (т.е. т’ может быть в углу). В оставшейся части книги мы не будем полностью выписывать такие условия, пока это не вызывает никакой путаницы.

Допущение о том, что С"(*) > 0 обеспечивает то, что условие второго порядка для максимизации удовлетворено и что (IV.6) дает максимум. Более явным образом условие второго порядка (выводимое дифференцированием (IV.6) по отношению к т) есть —С"(т‘ )у < 0, что всегда истинно при С"(») > 0. Это условие второго порядка также предполагает, что V(y' | т) является строго вогнутой функцией, которое является достаточным условием для того, чтобы она была однопиковой.

Мы записали условие первого порядка (IV.6) в форме Куна — Такера [Blume, Simon, 1994, р. 439-441], чтобы допустить возможность того факта, что предпочитаемая агентом i ставка налога может быть равна нулю. В этом случае у нас есть угловое решение, и условие первого порядка не остается в силе как равенство. Если т¹ > 0, то (IV.6) говорит о том, что идеальная ставка налога избирателя i имеет то свойство, что ее предельные издержки для i равны ее предельной выгоде. Предельные издержки измеряются у, собственным доходом индивида /, потому постепенное увеличение ставки налога ведет к снижению полезности индивида I пропорционально его доходу (потреблению). В то же время выгода есть (1-С'(т'))у, что вытекает из того факта, что с большими налогами будет больше перераспределения доходов. Элемент (l-C'(T’))y есть добавочное перераспределение доходов, за вычетом затрат, порожденное небольшим увеличением ставки налога.

Из условий в (IV.6) вытекает тот интуитивно понятный результат, что богатые предпочитают более низкие налоги и меньшие перераспределения, чем бедные. Для богатого индивида соотношение у’ I у выше, чем оно было бы для бедного. Это означает: чтобы (IV.6) оставалось в силе, 1 — С"(х') должно быть выше, так что С'(т') должно быть ниже. Поскольку С'(т') есть возрастающая функция (в силу выпуклости С(»)), из этого следует, что предпочитаемая ставка налога должна быть ниже. На самом деле модель дает и более конкретное предсказание. Для лица с доходом среднего уровня (IV.6) становится 0 = - С'(т'), из чего следует, что для него т‘ = 0. Более того, для каждого индивида с доходом / > у условия Куна — Такера предполагают, что есть угловое решение. Поэтому люди с доходом выше среднего предпочитают, чтобы не было никакого перераспределения доходов вообще, в то время как люди с у' < у одобряют строго положительную ставку налога, почему мы и используем формулировку Куна — Такера.

Чтобы вывести эти сравнительные статические результаты более формальным образом, допустим, что т’ > 0, и применим теорему о неявной функции [Blume, Simon, 1994, р. 341], чтобы записать оптимальную ставку налога индивида i как функцию его собственного дохода, т(/). Это удовлетворяет (IV.6). Теорема говорит нам о том, что производ-ная неявной функции, обозначаемая х'(У), существует и выражается следующим образом: