Энциклопедический словарь юного математика

Итак, мы рассказали, что же входит в понятие «математика». Но существует еще и такое понятие, как прикладная математика. Под ним понимают совокупность всех математических методов и дисциплин, находящих применения за пределами математики. В древности геометрия и арифметика представляли всю математику и, поскольку та и другая находили многочисленные применения при торговых обменах, измерении площадей и объемов, в вопросах навигации, вся математика была не только теоретической, но и прикладной. Позднее, в Древней Греции, возникло разделение на математику и на математику прикладную. Однако все выдающиеся математики занимались и применениями, а не только чисто теоретическими исследованиями.

Дальнейшее развитие математики было непрерывно связано с прогрессом естествознания, техники, с появлением новых общественных потребностей. К концу XVIII в. возникла необходимость (в первую очередь в связи с проблемами навигации и артиллерии) создания математической теории движения. Это сделали в своих работах Г. В. Лейбниц и И. Ньютон. Прикладная математика пополнилась новым очень мощным методом исследования – математическим анализом. Почти одновременно потребности демографии, страхования привели к формированию начал теории вероятностей (см. Вероятностей теория). XVIII и XIX вв. расширили содержание прикладной математики, добавив в нее теорию дифференциальных уравнений обыкновенных и с частными производными, уравнения математической физики, элементы математической статистики, дифференциальную геометрию. XX в. принес новые методы математического исследования практических задач: теорию случайных процессов, теорию графов, функциональный анализ, оптимальное управление, линейное и нелинейное программирование. Более того, выяснилось, что теория чисел и абстрактная алгебра нашли неожиданные применения к задачам физики. В результате стало складываться убеждение, что прикладной математики как отдельной дисциплины не существует и вся математика может считаться прикладной. Пожалуй, нужно говорить не о том, что математика бывает прикладная и теоретическая, а о том, что математики разделяются на прикладников и теоретиков. Для одних математика является методом познания окружающего мира и происходящих в нем явлений, именно для этой цели ученый развивает и расширяет математическое знание. Для других математика сама по себе представляет целый мир, достойный изучения и развития. Для прогресса науки нужны ученые и того, и другого плана.

Математика, прежде чем изучать своими методами какое-нибудь явление, создает его математическую модель, т.е. перечисляет все те особенности явления, которые будут приниматься во внимание. Модель принуждает исследователя выбирать те математические средства, которые позволят вполне адекватно передать особенности изучаемого явления и его эволюции. В качестве примера возьмем модель планетной системы: Солнце и планеты рассматриваются как материальные точки с соответствующими массами. Взаимодействие каждых двух точек определяется силой притяжения между ними

,

где m₁ и m₂ – массы взаимодействующих точек, r – расстояние между ними, а f - постоянная тяготения. Несмотря на всю простоту этой модели, она в течение вот уже трехсот лет с огромной точностью передает особенности движения планет Солнечной системы.

Конечно, каждая модель огрубляет действительность, и задача исследователя состоит в первую очередь в том, чтобы предложить модель, передающую, с одной стороны, наиболее полно фактическую сторону дела (как принято говорить, ее физические особенности), а с другой – дающую значительное приближение к действительности. Разумеется, для одного и того же явления можно предложить несколько математических моделей. Все они имеют право на существование до тех пор, пока не начнет сказываться существенное расхождение модели и действительности.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ

Индуктивными называют рассуждения, в которых осуществляется переход от частных заключений к общим. Некоторое свойство подмечается на каком-то числе примеров, в какой-то момент высказывается общая гипотеза, которая затем подвергается дальнейшей экспериментальной проверке. В естественных науках наступает момент, когда проверка считается достаточной для того, чтобы принять гипотезу, посчитать ее доказанной. Вспомним, например, открытие Ч. Дарвиным закона эволюции. В математике же, когда высказывание делается о бесконечной совокупности, проверка любого конечного набора случаев не может заменить доказательства.

«Большая часть великих идей современных математиков, если не все, получила свое начало в наблюдении». Дж. Сильвестр