Энциклопедический словарь юного математика

В разнообразных математических ситуациях, да и в повседневной жизни мы часто оцениваем удаленность друг от друга двух объектов с помощью «расстояний», отличных от обычного. Скажем, расстоянием между точками A и B на глобусе естественно считать длину меньшей из двух дуг AB окружности большого круга (проходящего через точки A и B). Расстояние между A и B также характеризует минимальное время, за которое можно добраться из пункта A в пункт B. Если измерить расстояние между Новосибирском и Душанбе по глобусу (или посмотреть в справочник Аэрофлота), получится примерно 2100 км. В железнодорожном справочнике указано другое число: 3895 км. В этом, конечно, нет ничего удивительного: поезда не могут ездить напрямик, как летают самолеты, потому железнодорожники и летчики оценивают расстояние по-разному.

Для построения теории расстояния, применимой во многих разделах математики, оказывается достаточно выделить очень небольшое число основных свойств расстояния.

Пусть каждым двум элементам a, b множества X по некоторому правилу сопоставлено число ρ(a,b) ≥ 0, при этом выполнены три условия:

1) ρ(a,b) = 0 тогда и только тогда, когда a=b;

2) ρ(a,b) = ρ(b,a) для любых двух a и b;

3) ρ(a,c) ≤ ρ(a,b) + ρ(b,c) для любых трех элементов a,b,c, из X.

Множество X, снабженное такой функцией ρ, называется метрическим пространством. Свойство (3) для обычного расстояния на плоскости выражает тот факт, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон; это свойство называется неравенством треугольника. В конкретных примерах именно оно не очевидно и нуждается в проверке. Неравенство треугольника на сфере сводится к такой теореме: любой плоский угол COA трехгранного угла ABCO меньше суммы двух других плоских углов AOB и BOC (рис. 1).

Рис. 1

Отправляясь в путешествие, мы часто вынуждены иметь дело с таким «расстоянием»: D(A,B) - это наименьшая стоимость проезда из пункта A в пункт B. Неравенство треугольника здесь очевидно: чтобы добраться из A в C, мы можем сначала доехать от A до B, а потом - от B до C (заплатив за это D(A,B) + D(B,C) рублей); поэтому стоимость D(A,C) самого дешевого маршрута из A в C не больше суммы D(A,B) + D(B,C). Можно ввести и другое «расстояние» между A и B. В любом конечном графе расстоянием между двумя вершинами можно считать наименьшее число ребер в пути, соединяющих эти вершины.

Расстояние между двумя точками a и b числовой прямой R равно |a - b|. В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости расстояние между двумя точками A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂) выражается с помощью теоремы Пифагора по формуле:

.

Аналогичная формула в пространстве для расстояния между точками A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂):

.

На одном и том же множестве X можно многими разными способами ввести расстояние. Например, на плоскости за расстояние между точками A(x₁,y₁) и B(x₂,y₂) можно принять ρ(A,B) = |x₁ - x₂| +|y₁ - y₂| или ρ(A,B) = max{|x₁ - x₂| ,|y₁ - y₂| } - наибольшее из двух чисел |x₁ - x₂|, |y₁ - y₂|.

Расстояние можно определять не только между точками. Так, расстоянием от точки A до прямой l (или до плоскости в пространстве) называется длина перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую l (на плоскость p). Вообще, расстоянием от точки A до фигуры Ф называется наименьшее из расстояний от этой точки до точек фигуры Ф. Иногда используют аналогичное определение расстояния между двумя непересекающимися фигурами; в частности, расстоянием между двумя параллельными или скрещивающимися прямыми (рис. 2) считается длина перпендикулярного обеим прямым отрезка с концами на этих прямых - наименьшее из расстояний между точками двух прямых.

Рис. 2

РЯД

Рядом в математике называется выражение вида

a₁ + a₂ + a₃ +...,      (1)

составленное из чисел a₁,a₂, a₃,..., которые называются членами ряда. Многоточие в конце (иногда шутят, что в нем-то и заключена суть ряда) указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, ряд есть «бесконечная» сумма.

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определенный числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых, вообще говоря, не сможет ни человек, ни ЭВМ, поскольку процесс сложения членов ряда (по самому определению) никогда не кончается. Поэтому выражение (1) - это лишь некий математический символ, которому надлежит придать определенный смысл.

Рассмотрим конкретный ряд

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..., (2)

каждый последующий член которого равен половине предыдущего.

Подсчитаем суммы одного, двух, трех, четырех, пяти его членов: