Энциклопедический словарь юного математика

Нетрудно заметить, что значения этих сумм отличаются от 1 на 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, т.е. при увеличении числа слагаемых мы получаем для их сумм хотя и различные числовые значения, однако все меньше и меньше отличающиеся от единицы. Число 1 разумно назвать суммой ряда (2).

Подкрепим наши доводы еще следующим рассуждением. Прямоугольник площадью в 1 квадратную единицу разобьем на два прямоугольника одинаковой площади (рис. 1). Один из получившихся прямоугольников вновь разобьем на два прямоугольника одинаковой площади. Продолжая мысленно этот процесс деления, получим прямоугольники, площади которых равны 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2ⁿ, ..., квадратных единиц. Объединение всех этих прямоугольников дает исходный прямоугольник, значит, и сумма их площадей должна быть равна площади исходного:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1.

Рис. 1

Приближенные суммы ряда (1)

S₁ = a₁,

S₂ = a₁ + a₂,

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n

называются частичными суммами. Если значения частичных сумм S_n при неограниченном возрастании n стремятся к некоторому числу A, то ряд называется сходящимся; число A называют при этом суммой ряда и пишут:

a₁ + a₂ + a₃ + ... = A.

Таким образом, эта запись есть сокращенная форма следующего утверждения: при неограниченном возрастании n значения S_n сколь угодно мало отличаются от A, т.е. число A есть предел последовательности S_n, что записывается так:

.

Не для всякого ряда последовательность его частичных сумм стремится к определенному пределу. Например, для ряда

1 - 1 + 1 - 1 + ...   (3)

частичные суммы S_n принимают попеременно значения 1 и 0:

S₁ = 1, S₂ = 1-1=0, S₃ = 1, S₄ = 0, …

и с ростом n, очевидно, не приближаются неограниченно к какому-либо числу.

Ряд, у которого последовательность частичных сумм S_n не имеет предела, называется расходящимся. Таков ряд (3). Расходящийся ряд не имеет суммы.

Примеры сходящихся рядов:

3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + ...;    (4)

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...;    (5)

1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + ....   (6)

Ряд (4) сходится к числу 1/3 и дает представление этого числа бесконечной десятичной дробью: 1/3=0,333.... Суммы рядов (5) и (6) равны соответственно π/4 и π²/6 и дают возможность приближенно вычислить число π с любой степенью точности (если взять достаточно много членов ряда).

Для любого числа x, удовлетворяющего условию -1 < x < 1, сходящимся будет геометрический ряд

1 + x + x² + x³ + x⁴ + ...

(его члены образуют геометрическую прогрессию со знаменателем x). Сумма его первых n членов, т.е. частичная сумма S_n, равна

S_n = (1 - xⁿ)/(1 - x)

и в случае -1 < x < 1 при n → ∞ стремится к 1/(1 - x). Поэтому при -1 < x < 1 можно написать:

1 + x + x² + x³ + ... = 1/(1-x).    (7)

Геометрический ряд исторически был первым бесконечным рядом, для которого была определена его сумма. Архимед (III в. до н.э.) для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) применил суммирование бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4.

Интересно, что после Архимеда вплоть до XVI в. математика рядами не занималась, ряды вошли в математику лишь тогда, когда началось изучение изменяющихся процессов. Математики занялись вычислением сумм рядов (например, для ряда (5) сумму нашел Г. Лейбниц, а для ряда (6) - Л. Эйлер), хотя понятие сходимости ряда точно установлено еще не было. Считалось, что любой ряд имеет сумму и с рядами можно производить те же арифметические действия, что и с многочленами: складывать, умножать, переставлять слагаемые и т. п. Иногда это приводило к фантастическим результатам, например, получали, что сумма ряда 1 - 1 + 1 - 1 + ... может быть равна и 0, и 1, и даже 1/2. Рассуждения были примерно такие:

1 - 1 + 1 - 1 + ... = (1-1) + (1-1) + ... = 0 или 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ... = 1 -(1-1) - (1-1) - ... = 1, а результат 1/2 получался следующим образом: если S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - ..., то из равенства 1-1+1-1+... = 1-(1-1+1-1+...) следует S = 1 - S, откуда S=1/2. Позже сходящимися рядами стали считать лишь те ряды, у которых n-й член a_n при неограниченном возрастании n стремится к нулю. Если ряд сходится, то предел a_n действительно равен нулю, так как a_n = S_n - S_n-1 и с возрастанием n эта разность стремится к нулю. Однако нашлись ряды, у которых a_n стремится к нулю, а последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Таков, например, гармонический ряд

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ....