Энциклопедический словарь юного математика

Четкое определение сходимости ряда, основанное на понятии предела последовательности частичных сумм, появилось лишь в начале XIX в. Тогда же началось систематическое изучение рядов.

Некоторые числовые ряды обладают тем свойством, что их сумма не меняется при перестановке членов, например, абсолютно сходящиеся ряды. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

|a₁| + |a₂| + |a₃| + ...

из абсолютных величин его членов. Таковы ряды (2), (4) и (6), а ряд (5) не является абсолютно сходящимся. Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать, вычитать, умножать и делить по тем же правилам, что и конечные суммы.

Особое значение имеет степенной ряд, т.е. ряд вида

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ....      (8)

Для одних значений x получающийся из (8) числовой ряд может сходиться, для других - расходиться (например, геометрический ряд (7) сходится при любом x, удовлетворяющем условию -1 < x < 1, а при x = -1 дает расходящийся ряд 1 - 1 + 1 - 1 + ...).

Множество всех значений x, для которых ряд (8) сходится, называется множеством сходимости этого ряда. На множестве сходимости сумма ряда (8) зависит от x и является функцией аргумента x. Если

a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... = f(x),      (9)

то левая часть равенства представляет собой разложение функции f(x) в бесконечный степенной ряд. Например, формула (7) дает разложение функции 1/(1 - x) при -1 < x < 1 в бесконечный степенной ряд.

Идея представления функций степенными рядами принадлежит И. Ньютону, он нашел разложения многих функций, например:

   (10)

где x - радианная мера угла, этот ряд сходится (и к тому же абсолютно) для любого x. Если в разложении (9) функции f(x) в степенной ряд ограничиться несколькими первыми членами, то мы получим приближенное представление функции: оно тем точнее, чем больше взято членов ряда (слагаемых). Например, приближенная формула

sin x ≈ x - x³/6,

правая часть которой - первые два члена формулы (10), дает значения sin x с ошибкой, меньшей 0,0005, при всех 0 < x < 0,59, что в градусной мере соответствует углам 0° < x < 32°38'. С той же точностью до 0,0005 можно считать sin x ≈ x при всех положительных x, меньших 6°33'.

Существуют различные способы представления функций бесконечными рядами, например, при рассмотрении периодических процессов используются тригонометрические ряды, т.е. ряды вида

a₀ + a₁ sin x + b₁ cos x + a₂ sin 2x + b₂ cos 2x + ....

Заметим, что все рассмотренные ряды имели ясный и вполне определенный закон образования их членов. Обычно же ряд задается формулой n-го члена ряда (a_n), его называют общим членом ряда. Из этой формулы подстановкой вместо n определенного числа - номера члена ряда - находят слагаемое, имеющее этот номер. Например, общий член ряда (2) имеет вид a_n = 1/2ⁿ, и легко находятся a₁ = 1/2, a₂ = 1/2ⁿ = 1/4, a₃ = 1/2³ = 1/8. Для ряда (3) общий член выражается так: a_n = (-1)^n-1.

Для краткой записи суммы употребляется символ ∑ (греческая буква «сигма», начальная буква слова «сумма»). Символ  (читается «сумма по n от 1 до N») означает сумму всех слагаемых, получаемых, когда n последовательно пробегает значения от 1 до N, например:

,

.

Для обозначения всего ряда верхний индекс заменяется на символ бесконечности ∞:

.

Таким образом, можно записать:

,

.

СИНУСОВ ТЕОРЕМА

Эта теорема устанавливает зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Она утверждает, что длины a, b, c сторон любого треугольника ABC (см. рис. 1) пропорциональны синусам противолежащих углов, т.е.

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R,

где R - радиус описанной окружности.

Рис. 1

Подчеркнем, что стороны треугольника пропорциональны лишь синусам его внутренних углов, но не пропорциональны самим углам. Так, в прямоугольном треугольнике с острыми углами 30° и 60° sin 90° больше sin 30° в 2 раза: 1:1/2 = 2, гипотенуза больше катета, лежащего против угла 30°, также в 2 раза. Но угол 90° больше угла 30° в 3 раза.

По теореме синусов удобно вычислять длины сторон треугольника, если известны величины его углов и длина одной из сторон.

Теорема синусов была впервые доказана в X-XI вв. математиками Ближнего и Среднего Востока. Открытие этой теоремы сыграло важнейшую роль в развитии тригонометрии.

СИНУСОИДА

Синусоида - волнообразная плоская кривая, которая является графиком тригонометрической функции y = sin x в прямоугольной системе координат. Если рулончик бумаги разрезать наискось и развернуть его, то край бумаги окажется разрезанным по синусоиде (рис. 1,а). Любопытно, что проекция на плоскость винтовой линии также будет синусоидой (рис. 1,б).

Рис. 1

Длина «волны» синусоиды равна 2π. Это объясняется тем, что значение функции y = sin x при любом x совпадает с ее значением при x + 2π (т.е. период функции равен 2π).