Естествознание. Базовый уровень. 11 класс

Как уже говорилось, количество содержащейся в сообщении информации неодинаково для каждого получателя этого сообщения и зависит от его предварительного знания. Поэтому объективно можно определить только максимальное количество этой информации, предполагая, что получатель заранее не имеет никаких знаний по этому вопросу. Предположим, что нам сказали, что Юпитер является самой большой планетой Солнечной системы. Какая информация содержится в этом сообщении? Для того, кто это знал заранее, – никакой. Для того, кто предполагал, но сомневался, – определённое количество, точно оценить которое трудно. Поэтому вычислим максимальную информацию, которую получает человек, не имеющий никакого понятия о планетах, и знает только их названия и то, что всего их имеется восемь. Сколько вопросов он должен задать, чтобы узнать, какая из этих планет самая большая? Для удобства он располагает все планеты в алфавитном порядке: Венера, Земля, Марс, Меркурий, Нептун, Сатурн, Уран, Юпитер. Можно попробовать, конечно, просто перечислять планеты в этом порядке, но такой способ угадывания будет неудачным потому, что придётся задать семь вопросов и получить на все ответ «нет», пока мы не доберёмся до самой большой, но последней по алфавиту планеты. Поэтому правильнее будет поступить так: разделить все планеты на две равные группы и спросить, принадлежит ли самая большая к одной из них. Поскольку наш персонаж ничего не знает о планетах, кроме их названий, он может спросить: «Буква, с которой начинается название этой планеты, стоит в алфавите до Н?» – и получить отрицательный ответ. Вторым вопросом будет «Находится ли эта буква после С?». Ответом будет «да». Теперь осталось только выяснить, Уран это или Юпитер, с помощью одного вопроса. Таким образом, человеку, абсолютно несведущему в данной области, достаточно задать три вопроса, чтобы получить верный ответ. Следовательно, информация, содержащаяся в сообщении «Юпитер – самая большая планета Солнечной системы», равна 3 битам.

Предположим теперь, что в тексте наугад выбрана одна из 32 букв кириллицы (не будем учитывать «ё»). Как должен поступить человек, не знающий языка, чтобы, действуя наугад, узнать эту букву? Очевидно, он должен сначала выяснить, в какой половине алфавита находится эта буква. Затем он должен разбить эту половину, состоящую из 16 букв, на две восьмёрки и задать соответствующий вопрос. С помощью третьего вопроса он определит четвёрку, с помощью четвёртого – пару букв и, наконец, в результате пятого вопроса он узнает загаданную букву. Следовательно, информация, указывающая на определённую букву тридцатидвухбуквенного алфавита, равна 5 битам.

Проверьте свои знания

1. Может ли информация полностью определяться сообщением?

2. В каком случае сообщение не содержит информации?

3. Какое сообщение содержит 1 бит информации?

4. В каком случае и для какого получателя информация, содержащаяся в сообщении, оказывается наибольшей?

5. Где в биологии используется подобное пошаговое (повопросное) движение с двумя возможными вариантами ответов («да»/«нет»)?

Задания

Попросите вашего одноклассника загадать кого-нибудь из ваших общих знакомых. Задавая вопросы, на которые он может отвечать «да» или «нет», определите, кого он загадал. Оцените в битах объём полученной вами информации.

§ 10 Информация, вероятность и энтропия

Быть объектом удивления приятно уже потому, что с этим связан почёт.

Аристотель

Попытаемся найти закономерность в проведённых выше вычислениях. Рассматривая примеры угадывания, мы неоднократно обращали ваше внимание на то, что все возможные варианты были для угадывающего равновероятными. Следовательно, вероятность правильности каждого ответа была равна единице, разделённой на число возможных вариантов. То есть чем больше вариантов, тем меньше вероятность справедливости каждого из них и тем больше вопросов надо задать, чтобы узнать правильный ответ. Мы уже видели, что, для того чтобы выяснить, какой из двух возможных вариантов правилен, надо задать один вопрос, при восьми вариантах – три вопроса, а при тридцати двух – пять вопросов. Если немного подумать, то нетрудно будет сообразить, что при четырёх вариантах достаточно задать два вопроса, при 16 – четыре, а при 64 – шесть. Для большей ясности составим таблицу (табл. 1).

Чем меньше вероятность правильного ответа, тем большую информацию мы получаем, выяснив его. То есть количество информации зависит от «невероятности» полученного сообщения. Чем невероятнее, чем удивительнее кажутся полученные сведения, тем больше информации в них содержится. А эта «невероятность» равна числу возможных вариантов, об истинности которых нам ничего не известно. Теперь остаётся найти формулу для этой зависимости. Посмотрев на таблицу, мы убедимся в том, что число вариантов во всех случаях равно двойке, возведённой в степень, равную полученной информации:

N = 2^J.