Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Ирония ситуации в том, что за два года до того, как Харди написал свою «Апологию…», глава британской контрразведки MI6 купил поместье Блетчли-парк, в котором в будущем должна была разместиться Правительственная школа кодирования и шифрования, секретный дешифровальный центр cоюзников во время Второй мировой войны. Там, как известно, криптоаналитики взломали шифр машины Enigma, которую Германия использовала в военных целях, и ряд других шифровальных систем стран Оси. Самый известный сотрудник Блетчли-парка Алан Тьюринг начал обучение в 1938 году и прибыл в школу в день объявления войны. Криптоаналитики Блетчли-парка использовали для взлома германских шифров неординарные подходы и математику, в том числе и идеи из теории чисел. Всего лишь через неполные 40 лет после этого произошла настоящая революция в криптографии, фундаментом которой стала теория чисел. Естественно, для новой криптографии нашлось не только гражданское, но и военное применение. Вскоре она приобрела принципиально важное значение для работы интернета. Сегодня мы сильно зависим от нее, по большей части даже не сознавая, что она существует.

Теория относительности тоже нашла свое место не только в гражданской, но и в военной сфере. Можно сказать, что она сыграла определенную роль в реализации Манхэттенского проекта по созданию атомной бомбы. В соответствии с популярной легендой, знаменитая формула Эйнштейна E = mc² убедила физиков, что в небольшом количестве вещества содержится громадное количество энергии. Это, конечно, сильное упрощение, которое использовалось после ударов по Хиросиме и Нагасаки для объяснения публике принципа действия такого оружия. Не исключено, что таким образом пытались также отвлечь внимание от настоящего секрета: физики ядерных реакций. Более близкий к нам пример – Глобальная система позиционирования, GPS (глава 11), точность которой зависит как от специальной, так и от общей теории относительности. Разработка системы финансировалась американскими военными, а сама она первоначально предназначалась исключительно для них.

Счет 2:0 в пользу военных.

Я совершенно не виню Харди. Он понятия не имел, что происходит в Блетчли-парке, и едва ли мог предугадать стремительный взлет цифровых вычислений и средств связи. Слово «цифровой» означает в основном работу с целыми числами, а ведь именно этим занимается теория чисел. Внезапно оказалось, что результаты, полученные многими поколениями специалистов по чистой математике исключительно из интеллектуального любопытства, теперь можно использовать для инновационной технологии. Сегодня в электронных устройствах, которые четверть рода человеческого ежедневно носит с собой, воплощен огромный пласт математики – и это не только теория чисел, но и многое другое, от комбинаторики до абстрактной алгебры и функционального анализа. Секретность онлайн-операций, осуществляемых частными лицами, компаниями, а также военными, обеспечивается хитроумными математическими преобразованиями, основанными на столь любимой Харди теории чисел. Это совсем не удивило бы Тьюринга, который был настолько впереди всех, что уже в 1950 году всерьез задумывался об искусственном интеллекте. Но Тьюринг был мечтателем. В те времена это было даже не научной фантастикой, а просто фантазией.

* * *

Код, или шифр, – это метод преобразования сообщения на обычном языке, то есть открытого текста, в зашифрованный текст, который выглядит как тарабарщина. При этом преобразовании, как правило, используется ключ – принципиально важная часть информации, которую держат в секрете. Говорят, например, что Юлий Цезарь пользовался шифром, в котором каждая буква алфавита сдвигалась на три позиции. «Три» здесь и есть ключ. Такой тип шифра подстановки, в котором каждая буква алфавита заменяется на другую букву по постоянному правилу, несложно взломать, если в вашем распоряжении имеется достаточное количество шифровок. Для этого достаточно знать частоты, с которыми буквы алфавита встречаются в открытом тексте. Тогда можно сделать достаточно достоверное предположение о принципе шифрования и проверить его. Поначалу будут встречаться ошибки, но если часть текста вдруг расшифруется как JULFUS CAESAR, то легко догадаться, что на месте F должна быть I.

Каким бы простым и ненадежным ни казался шифр Цезаря, он служит хорошим примером для иллюстрации общего принципа, который до недавнего времени лежал в основе практически всех систем шифрования. Это симметричный шифр, то есть и отправитель, и получатель пользуются, по существу, одним и тем же ключом. Я говорю «по существу», потому что они пользуются им по-разному: Юлий сдвигает алфавит на три позиции вправо, а получатель сдвигает его на три позиции в обратном направлении. Однако если вы знаете, как ключ используется при шифровании, то легко можете обратить процесс вспять и использовать тот же ключ для расшифровки. Даже весьма хитроумные и надежные шифры симметричны. Поэтому безопасность требует, чтобы используемый ключ держался в секрете от всех, за исключением отправителя и получателя сообщений.