Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

В классической механике наблюдаемое (величина, которую мы можем измерить) связывает каждое возможное состояние системы с числом. Например, если мы наблюдаем расстояние от Земли до Луны, то получаем в результате единственное число – наблюдаемое здесь есть функция, определенная на пространстве всех возможных конфигураций, в которых Земля и Луна могут хотя бы в принципе находиться. В квантовой механике наблюдаемые величины суть операторы. Оператор берет элемент гильбертова пространства состояний и превращает его в комплексное число. Операторы должны подчиняться короткому списку математических правил. Одно из них – линейность. Предположим, у вас есть два состояния x и y, и оператор L дает для них на выходе L(x) и L(y). В квантовой теории состояния могут накладываться друг на друга, наслаиваться – складываться – и давать в результате состояние x + y. Линейность означает, что оператор L должен в этом случае дать на выходе L(x) + L(y). Полный список требуемых свойств дает так называемый эрмитов оператор, который прекрасно ведет себя в связи с расстояниями в гильбертовом пространстве.

Физики выбирают эти пространства и операторы разными способами для моделирования конкретных квантовых систем. Если их интересуют состояния координат и импульса единичной частицы, гильбертово пространство состоит из всех квадратично интегрируемых функций и имеет бесконечную размерность. Если их интересует спин единичного электрона, гильбертово пространство двумерно и состоит из так называемых спиноров. В качестве примера можно привести уравнение Шрёдингера, которое выглядит примерно так:

Вам не обязательно разбираться в математике, но давайте посмотрим на символы. Особенно на первый, который в значительной мере все проясняет: это i, квадратный корень из минус единицы. Мы смотрим на базовое уравнение квантовой механики, и первый же символ, который видим перед собой, – это мнимое число i.

Следующий символ,  – это число, которое называют приведенной постоянной Планка, и оно очень-очень мало: около 10^–34 Дж∙сек. Именно оно дает квантовой механике ее кванты – крохотные, но дискретные скачки в значениях, которые могут принимать различные величины. Затем стоит дробь d/dt. Здесь t – время, а буквы d говорят нам о том, что следует найти скорость изменения, как в дифференциальном исчислении, так что это дифференциальное уравнение. Комбинация символов  – это волновая функция, определяющая состояние системы в момент времени t, то есть та штука, скорость изменения которой мы хотим узнать. Наконец,  – это так называемый гамильтониан: по сути, энергия.

Обычная интерпретация волновой функции состоит в том, что она представляет не отдельное состояние, а вероятность того, что наблюдение обнаружит систему в этом состоянии. Однако вероятности – это действительные числа от 0 до 1, тогда как значения волновой функции – комплексные числа любой величины. Поэтому физики сосредоточиваются на амплитуде (которую математики называют модулем) комплексного числа, которая говорит о том, насколько далеко это число располагается от начала координат, – в полярных координатах это r. Они считают это число относительной вероятностью, так что если у одного состояния амплитуда равна 10, а у другого – 20, то второе состояние вдвое вероятнее первого.

Модуль говорит о том, насколько далеко от начала координат лежит комплексное число, но он ничего не говорит о направлении, в котором следует двигаться, чтобы до него добраться. Это направление определяется еще одним действительным числом, углом A в полярных координатах. Математики называют этот угол аргументом комплексного числа, а физики называют его фазой – насколько далеко вдоль единичной окружности следует пройти, чтобы выйти на нужное направление. Так что у комплексной волновой функции есть амплитуда, которая дает количественную оценку относительной вероятности данного наблюдения, и фаза, которая не влияет на амплитуду и которую почти невозможно измерить. Фазы влияют на то, как накладываются друг на друга отдельные состояния, и, следовательно, на вероятности возникновения этих составных состояний, но на практике они скрыты от взгляда экспериментатора.

Все это означает, что одного только действительного числа недостаточно для количественного определения квантового состояния. Невозможно даже сформулировать квантовую механику с помощью традиционных действительных чисел.

* * *