Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Математики постепенно пришли к пониманию, что, несмотря на отсутствие очевидной физической интерпретации, комплексные числа часто оказываются проще, чем действительные, и проливают свет на такие свойства действительных чисел, которые в противном случае вызывают недоумение. Например, как заметили Кардано и Бомбелли, квадратные уравнения имеют либо два действительных корня, либо ни одного, а кубические уравнения – либо одно действительное решение, либо три. С комплексными решениями все намного проще: квадратные уравнения всегда имеют два комплексных решения, а кубические – всегда три. Можно, кстати говоря, продолжить: уравнения 10-й степени имеют 10 комплексных решений, а вот действительных решений у них может быть 10, 8, 6, 4, 2 или ни одного. В 1799 году Гаусс доказал давно подозреваемый факт, гипотезу о котором выдвинул Петр Рот еще в 1608 году и который получил известность как основная теорема алгебры: полиномиальное уравнение степени n имеет n комплексных корней. Все стандартные функции анализа, такие как экспонента, синус, косинус и т. п., имеют естественные комплексные аналоги, и при рассмотрении этих функций в комплексном варианте их свойства, как правило, становятся проще.

Одним из практических следствий этого стало превращение комплексных чисел в стандартные инструменты в электронике, в первую очередь потому, что они обеспечивают элегантный и простой способ работы с переменными токами. Электричество – это поток электронов, заряженных элементарных частиц. В постоянном токе, который дает, например, батарейка, электроны движутся в одном направлении. В переменном токе, который безопаснее и потому широко используется в электрических сетях, электроны снуют попеременно туда и сюда. График напряжения (и тока) в такой сети выглядит как кривая косинуса в тригонометрии.

Получить такую кривую можно, если последить за точкой на ободе вращающегося колеса. Предположим, для простоты, что радиус этого колеса равен 1. Если посмотреть на горизонтальную проекцию траектории нашей точки, то окажется, что она движется из стороны в сторону, достигая значений +1 и –1 в крайних положениях. Если колесо вращается с постоянной скоростью, то график горизонтального отклонения представляет собой кривую косинуса, а график вертикального отклонения – кривую синуса (кривые на рисунке, проведенные черными линиями).

Вращение на комплексной плоскости в проекции дает периодические колебания. Прибавление B к углу A сдвигает графики влево: это так называемый фазовый сдвиг

Положение движущейся точки характеризуется парой действительных чисел (cos A, sin A), где A – угол между направлением на точку и горизонтальной осью. Воспользовавшись приемом Гамильтона, можно представить эту пару как комплексное число cos A + i sin A. С изменением угла A это число движется оборот за оборотом вдоль единичной окружности на комплексной плоскости. Если мы измеряем углы в радианах, то полный оборот точка совершает при увеличении A от 0 до 2π. Следующий оборот происходит, когда A возрастает от 2π до 4π, и т. д., так что движение точки носит периодический характер с периодом 2π.

Формула Эйлера подразумевает, что, по мере того как значение A, возрастая, проходит по действительным числам, соответствующее ему значение e^iA совершает оборот за оборотом вдоль единичной окружности с постоянной скоростью. Эта связь дает нам возможность превратить любое утверждение о периодической функции, имеющей форму синуса или косинуса, в комплексную экспоненту. Математически экспонента проще и легче поддается обработке. Более того, угол A имеет естественную физическую интерпретацию как фаза колебаний. Это означает, что изменение A путем прибавления к нему постоянного угла B сдвигает кривые синуса и косинуса на соответствующую величину (серые кривые на рисунке).

Что еще лучше, основные дифференциальные уравнения для напряжений и токов в контурах распространяются на множество комплексных чисел в неизменном виде. Физические колебания становятся действительной частью комплексной экспоненты, причем одни и те же методы применимы как к переменному, так и к постоянному току. Как будто вполне реальное (действительное) поведение имеет тайного мнимого двойника, и вместе они становятся проще, чем по отдельности. Инженеры-электронщики постоянно пользуются этим математическим приемом для упрощения расчетов, даже при наличии компьютера.

* * *

В электронике комплексные числа выскакивают как математический кролик из шляпы фокусника и облегчают инженерам жизнь – ну просто так получается. Но есть одна замечательная область, в контексте которой комплексные числа абсолютно необходимы и имеют физический смысл. Это квантовая механика.

Вигнер сделал этот образчик непостижимой эффективности центральным в своей лекции: