Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Чтобы подсластить пилюлю, новые числа стали называть мнимыми, в противовес традиционным действительным, которые можно было использовать для измерения реальных объектов. Эта терминология незаслуженно наделяла действительные числа особым статусом и, кроме того, смешивала математическую концепцию и общепринятый способ ее использования. Как мы увидим, у мнимых чисел тоже есть полностью осмысленные применения и интерпретации, но не в качестве измерений привычных физических величин вроде длины или массы. Бомбелли первым продемонстрировал, что мнимые числа – чем бы они ни были – можно использовать для решения совершенно реальных задач. Это как если бы фантастический плотницкий инструмент, даже не существующий в реальности, можно было взять и использовать для изготовления совершенно нормального стула. Конечно, это был концептуальный стул, но сам процесс все равно выглядел непостижимо. Еще более непостижимо выглядели свидетельства того, что все это работает.

Все это чудесным образом продолжало работать в постоянно расширяющемся спектре областей. К XVIII веку математики уже свободно пользовались новыми числами. В 1777 году Эйлер ввел для обозначения квадратного корня из минус единицы стандартный символ i. Комбинация действительных и мнимых чисел привела к созданию красивой и непротиворечивой системы, известной как комплексные числа, то есть «составленные из нескольких частей», а не «сложные». Алгебраически они выглядят как a + bi, где a и b – действительные числа. Комплексные числа можно складывать, вычитать, перемножать, делить, извлекать из них квадратные, кубические и прочие корни, не выходя при этом за пределы системы.

Главный недостаток комплексных чисел – то, что для них трудно подобрать интерпретацию в реальном мире, по крайней мере в то время все так думали. Неясно, при измерении чего и каким образом может быть получен результат, равный, скажем, 3 + 2i. Квазифилософские дебаты о легитимности комплексных чисел бушевали до тех пор, пока математики не поняли, как эти числа можно использовать для решения задач в области математической физики. Поскольку ответы здесь можно проверить другими средствами и они, кажется, всегда верны, споры отошли на задний план, уступив место ажиотажу и поспешному исследованию новых методов.

* * *

Долгое время математики пытались оправдать существование мнимых чисел, апеллируя к масштабному, но довольно туманному принципу перманентности, в соответствии с которым любое алгебраическое правило, верное для действительных чисел, должно автоматически распространяться и на комплексные числа. Главным доказательством этого утверждения считался тот факт, что на практике использование комплексных чисел давало правильные ответы, – по существу, триумф надежды над логикой. Короче говоря, они работали, потому что работали, и доказательством служило то… что они работали.

Лишь много позже математики разобрались в том, как можно представлять комплексные числа. Надо сказать, что они, подобно отрицательным числам, имеют несколько «физических» интерпретаций. Мы вскоре увидим, что в электротехнике комплексное число сочетает в себе амплитуду (максимальную величину) переменного сигнала и его фазу в одном компактном и удобном пакете. То же происходит и в квантовой механике. Если взять более прозаический пример, то как действительные числа соответствуют точкам на прямой, так комплексные числа соответствуют точкам на плоскости. Очень просто. И, как многие другие простые идеи, эта идея оставалась незамеченной несколько столетий.

Комплексная числовая плоскость