Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Следующий шаг – отрицательные числа – несколько сложнее, поскольку мы не можем наглядно продемонстрировать минус четыре апельсина. С деньгами проще, там отрицательное число можно интерпретировать как долг. Все это понимали в Китае около 200 года, о чем свидетельствует первый известный нам письменный источник «Математика в девяти книгах», хотя сама идея, несомненно, намного старше. Когда числа ассоциируют с измерениями, интерпретации отрицательных величин возникают совершенно естественно. Например, отрицательную температуру можно интерпретировать как температуру ниже нуля, тогда как положительная температура выше нуля. В некоторых случаях положительные измерения лежат справа от некоторой точки, тогда как отрицательные – слева, и т. д. Отрицательное противоположно положительному.

В наши дни математики уделяют много внимания различиям между этими типами числовых систем, но для обычного пользователя все они являются вариантами одной темы: это числа. Мы с готовностью принимаем такую довольно наивную договоренность, поскольку во всех этих системах работают одни и те же правила арифметики и каждый новый тип чисел просто расширяет старую систему, ничего не меняя в том, что нам известно. Преимущество расширения концепции числа состоит в том, что каждый раз появляется возможность производить «арифметические действия», недоступные прежде. В натуральных числах мы не можем разделить 2 на 3, в дробях – можем. В натуральных числах мы не можем вычесть 5 из 3, в отрицательных числах – можем. Все это делает математику проще, потому что можно перестать беспокоиться о том, разрешены те или иные арифметические операции или нет.

* * *

Дроби позволяют делить разные вещи на сколь угодно мелкие части. Мы можем разделить метр на миллиметры, составляющие одну тысячную долю его длины, или на микрометры, составляющие одну миллионную, или на нанометры (это уже одна миллиардная) и т. д. Названия у нас закончатся намного раньше, чем нули. Практические измерения никогда не обходятся без небольших ошибок, поэтому дробей нам вполне достаточно для всех целей. Мало того, мы можем обойтись только дробями со знаменателем, равным степени десяти, – посмотрите на любой электронный калькулятор. Но для важных теоретических целей, а также для сохранения порядка в математике дробей, как оказалось, не хватает.

Последователи древнегреческого культа пифагорейцев верили, что Вселенная управляется числами (кстати, подобные взгляды до сих пор преобладают в самой передовой физике, хотя и не в столь буквальном виде). Пифагорейцы признавали только натуральные числа и положительные дроби, поэтому их система взглядов была потрясена до основания, когда один из них обнаружил, что длина диагонали квадрата не равна точной доле длины его стороны. Это открытие привело к появлению так называемых иррациональных чисел, в данном случае к квадратному корню из двух. В результате сложной исторической эволюции, начавшейся в Китае в IV веке до н. э. и продолжавшейся до Симона Стевина в 1585 году, такие числа стали представлять в виде десятичных дробей:

√2= 1,414213562373095048…

Поскольку это число иррациональное, оно должно продолжаться бесконечно и не заканчиваться одними только нулями. Оно не может даже повторять одну и ту же группу цифр снова и снова, как 1/3, которая в десятичной записи равна 0,333333333… Это «бесконечная десятичная дробь». Мы не в состоянии записать ее целиком, но теоретически можем делать вид, что это возможно, потому что, в принципе, можно продолжать запись как угодно долго.

Несмотря на необходимость прибегать к бесконечному процессу, бесконечные десятичные дроби обладают очень приятными математическими свойствами, в частности позволяют точно записать геометрические длины, такие как √2, которые в противном случае не имели бы численных значений. Бесконечные десятичные дроби получили название действительных чисел, поскольку представляли собой (идеализированные) измерения реальных величин, таких как длина, площадь, объем и вес. Каждая последовательная цифра в них представляет кратное некоторого базового размера, который на каждом шаге уменьшается в 10 раз. Можно считать, что эта процедура продолжается бесконечно, причем базовые размеры становятся все меньше и меньше. Это позволяет нам представить нужное число с какой угодно точностью. Реальная физика на атомном уровне не такова, да и само пространство, вероятно, тоже не такое, но действительные числа необычайно хорошо представляют реальность в очень многих случаях.

* * *