Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Исторически новые типы чисел, как правило, поначалу встречали сопротивление. Затем, когда их полезность становилась очевидной, а использование – привычным, общее отношение к ним менялось. На протяжении жизни одного поколения сопротивление в основном исчезало: если вы с детства привыкли регулярно чем-то пользоваться, то оно кажется вам совершенно естественным. Философы могли и дальше спорить, является ли нуль числом – у них и сегодня нет единого мнения в этом вопросе, – но обычные люди уже пользовались им при необходимости и перестали гадать, что это на самом деле. Даже математики вели себя так, хотя и испытывая иногда чувство вины. Можно отметить, что терминология выдает эту игру: новые числа называются не как-нибудь, а отрицательными, иррациональными и т. п.

Однако даже у математиков некоторые инновации вызывали головную боль, которая не проходила столетиями. Но что по-настоящему нарушило спокойствие математического сообщества, так это введение так называемых мнимых чисел. Даже название (которое до сих пор используется исключительно по привычке) указывает на вызванную ими степень ошеломления и намекает, что репутация у этих чисел по какой-то причине была довольно сомнительная. Опять же в основе их лежали квадратные корни.

Стоило нам расширить числовую систему так, чтобы она включала в себя бесконечные десятичные дроби, как выяснилось, что у каждого положительного числа есть квадратный корень. Мало того, два квадратных корня: один положительный, другой отрицательный. Например, у числа 25 два квадратных корня: +5 и –5. Этот любопытный факт является следствием правила «минус на минус дает плюс», которое при первом знакомстве часто ставит людей в тупик. Некоторые в принципе не в состоянии его принять. Однако это простое следствие принципа, согласно которому отрицательные числа должны подчиняться тем же арифметическим правилам, что и положительные. Это звучит разумно, но подразумевает, что у отрицательных чисел не бывает квадратных корней. Так, у числа –25 нет квадратных корней. Это кажется несправедливым, если вспомнить, что у его родича, числа +25, таких корней целых два. Поэтому математики долгое время рассуждали о новом цифровом царстве, где у отрицательных чисел тоже имеются квадратные корни. При этом они молчаливо подразумевали, что в нем обычные правила арифметики и алгебры продолжают действовать. Позднее стало очевидно, что для появления такого царства необходимо всего одно принципиально новое число: квадратный корень из минус единицы. Это новое число получило обозначение i, которым и сегодня пользуются все, кроме инженеров (они используют символ j). Воспользовавшись этим обозначением, можно без труда записать его ключевое свойство:

i² = –1.

Теперь в числовом царстве правит справедливость, и каждое число, положительное или отрицательное, имеет два квадратных корня{48}. Исключение составляет нуль, поскольку –0 = +0, но нуль часто становится исключением, поэтому никого это не смущает{49}.

Идею о том, что отрицательное число может, в принципе, иметь осмысленный квадратный корень, можно проследить до древнегреческого математика и механика Герона Александрийского, но первые шаги к разумной реализации этой идеи были сделаны лишь полтора тысячелетия спустя в Италии в эпоху Возрождения. Джероламо Кардано упомянул такую возможность в своем трактате «Великое искусство» (одном из первых алгебраических трудов) в 1545 году, но затем отбросил эту идею как бессмысленную. Прорыв произошел в 1572 году, когда итальянский алгебраист Рафаэль Бомбелли сформулировал правила для вычислений с гипотетическим квадратным корнем из минус единицы и нашел действительные решения одного кубического уравнения с использованием формулы, где складывались два «числа», которые никак не могли быть действительными. Невозможные части успешно сократились друг с другом, оставив вполне корректный – действительный – ответ. Этот дерзкий мудреный фокус заставил математиков спохватиться, потому что полученные решения можно было проверить непосредственно и они работали.