Это база: Зачем нужна математика в повседневной жизни

Когда мы представляем комплексное число z в виде z = x + iy, где x и y действительные числа, в основе такого представления лежит геометрическая система декартовых координат с двумя осями, расположенными под прямым углом друг к другу: это действительная часть x (горизонтальная ось) и мнимая часть y (вертикальная ось). Однако на плоскости существует еще одна система координат – полярные координаты, в которых точка представляется как пара (r, A), где r – положительное действительное число, а A – угол. Эти две системы тесно взаимосвязаны: r – это расстояние от начала координат 0 до точки z, а A – угол между действительной осью и прямой, соединяющей начало координат с z.

Геометрия комплексной плоскости в декартовых и полярных координатах. Здесь cos и sin – тригонометрические функции косинус и синус. (Рисунок, по существу, определяет эти функции.)

Декартовы координаты идеальны для описания движения невращающихся объектов. Если точка x + iy смещается на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали, она оказывается в точке (x + iy) + (a + ib). Если распространить эту идею на множество точек со списком значений для x и y, то все множество сдвинется на a единиц по горизонтали и на b единиц по вертикали в случае добавления фиксированного комплексного числа a + ib к каждой его точке. Более того, это жесткое движение: весь объект движется целиком, не меняя ни формы, ни размера.

Еще одним типом жесткого движения является вращение. Здесь объект опять же не меняет ни формы, ни размера, но изменяет ориентацию, поворачиваясь на некоторый угол вокруг центральной точки. Ключевое наблюдение здесь состоит в том, что умножение на i поворачивает точки на 90º вокруг центра в начале координат. Именно поэтому ось y, представляющая мнимую часть y числа z, расположена под прямым углом к оси x, которая представляет действительную часть x. (Несмотря на название, мнимая часть – это действительное число: она становится мнимой, когда мы умножаем ее на i, чтобы получить iy.)

Если мы хотим повернуть множество точек на 90°, то умножаем каждую точку этого множества на i. В более общем случае если мы хотим повернуть множество точек на угол A, то небольшое упражнение в тригонометрии покажет, что нужно умножить все точки множества на комплексное число

cos A + i sin A.

Параллельный перенос (слева) и поворот (справа) множества точек PIG с использованием комплексных чисел

Эйлер нашел замечательную и красивую связь между этим выражением и комплексным аналогом экспоненциальной функции e^x, где e = 2,71828… – основание натурального логарифма. Мы можем определить экспоненциальную функцию e^z комплексного числа z таким образом, чтобы она обладала теми же базовыми свойствами, что действительная экспонента, и совпадала с ней при действительном z. Оказывается, что

e^iA = cos A + i sin A.

Элегантный способ понять, почему это происходит, состоит в использовании дифференциальных уравнений. Я поместил его в Примечания{50}, потому что выглядит все это слишком формально.

Представление комплексного числа в полярных координатах выглядит следующим образом:

r(cos A + i sin A) = re^iA.

Получилась очень простая и компактная формула.

Красота геометрии комплексных чисел заключается в том, что они имеют сразу две естественные координатные системы – декартову и полярную. Параллельный перенос в декартовых координатах описывается простой формулой, но в полярных координатах порождает путаницу. Поворот, напротив, в полярных координатах описывается простой формулой, зато в декартовых порождает путаницу. Пользуясь комплексными числами, вы можете сами выбирать, какое их представление лучше всего отвечает вашим целям.

Эти геометрические свойства комплексной алгебры можно было бы использовать в двумерной компьютерной графике, но оказывается, что, поскольку геометрия на плоскости проста, а компьютеры легко просчитывают громоздкие формулы, большой выгоды вы от этого не получите. В главе 7 мы увидим, что в случае компьютерной графики в трех измерениях аналогичный фокус творит чудеса. Однако пока мы завершим историю комплексных чисел рассказом о некоторых по-настоящему полезных сферах их применения.

* * *