Feynmann 1

С другой стороны, в (13.16) S означает, что каждая пара i и j встречается лишь однажды. Скажем, частицы 1 и 3 дают только один член в сумме. Чтобы отметить это, можно договориться, что i принимает значения 1, 2, 3, ..., а j для каждого i — только значения, большие чем i Если, скажем, i=3, то j равно 4, 5, 6, .... Но вспомним, что каждая пара i, j дает два слагаемых в сумме, одно с v_i, а другое с v_j, и что оба эти члена выглядят так же, как член в уравнении (13.14) [но только в последнем в сумму входят все значения i и j (кроме i=j)]. В уравнениях (13.16) и (13.15) член за членом совпадут по величине. Знаки их, однако, будут противоположны, так что производная по времени от суммы потенциальной и кинетической энергий действительно равна нулю. Итак, мы видим, что и в системе многих тел кинети­ческая энергия составляется из суммы энергий отдельных тел и что потенциальная энергия тоже состоит из взаимных потен­циальных энергий пар частиц. Почему она складывается из энер­гий пар? Это можно уяснить себе следующим образом: положим, мы хотим найти всю работу, которую нужно совершить, чтобы развести тела на определенные расстояния друг от друга. Мож­но это сделать не за один раз, а постепенно, доставляя их одно за другим из бесконечности, где на них никакие силы не влияли. Сперва мы приведем тело 1, на что работы не потребуется, потому что, пока нет других тел, силы отсутствуют. Доставка тела 2 потребует работы W₁₂ =-Gm₁m₂/r_i2. И вот теперь самый суще­ственный момент: мы доставляем тело 3 в точку 3. В любой мо­мент сила, действующая на 3, слагается из двух частей: из си­лы, действующей со стороны 1, и силы со стороны 2. Значит, и вся произведенная работа равна сумме работ каждой из сил, потому что раз F₃ разбивается на сумму сил

F₃= F₁₃+F₂

то работа равна

Стало быть, вся работа равна сумме работ, произведенных про­тив силы 1 и против силы 2, как если бы они действовали неза­висимо. Продолжая рассуждать таким образом, мы увидим, что полная работа, которую необходимо выполнить, чтобы собрать данную конфигурацию тел, в точности равна значению (13.14) для потенциальной энергии. Именно из-за того, что тяготение подчиняется принципу наложения сил, можно потенциальную энергию представить в виде суммы по всем парам частиц.

§ 4. Поле тяготения больших тел

Теперь рассчитаем поля, встречающиеся во многих физиче­ских задачах, когда речь идет о распределении масс. Мы пока не рассматривали распределения масс, а занимались только отдель­ными частицами. Но интересно рассчитать и поля, образуемые более чем одной частицей. Для начала найдем силу притяжения со стороны плоского пласта вещества бесконечной протяженности. Сила притяжения единичной массы в данной точке Р (фиг. 13.5), конечно, направлена к плоскости. Расстояние от точки до пло­скости есть a, а масса единицы площади этой плоскости есть m., где m=m/4pa² — поверхностная плотность массы. (Вообще пло­щадь поверхности шарового пояса пропорциональна его вы­соте.) Поэтому потенциальная энергия притяжения массы dm есть

Но мы видим, что

Значит,

2rdr=-2Rdx,

или

Поэтому

и получается

Стало быть, для тонкого слоя потенциальная энергия массы m', внешней по отношению к слою, такова, как если бы масса слоя собралась в его центре. Землю же можно представить в виде ряда таких слоев, и притяжение каждого из слоев зависит только от его массы; сложив их, получим всю массу планеты; значит, и вся Земля действует так, словно все ее вещество находится в ее центре!

Но посмотрим, что произойдет, если точка Р окажется внутри слоя. Проделывая те же расчеты вплоть до интегрирования, мы получим разность двух значений r, но уже в другой форме: (a+R)-(а-R)=2R (двойное расстояние от Р до центра). Дру­гими словами, теперь W становится равной W=-Gmm'/a, что не зависит от R, т. е. точка Р всюду внутри сферы обладает одной и той же энергией тяготения. А значит, на нее не дей­ствует никакая сила, и не нужно никакой работы, чтобы двигать ее внутри. Когда потенциальная энергия тела всюду, в любой точке внутри сферы, одинакова, то на тело не действует никакая сила. Внутри сферы тело не испытывает действия сил, сила действует только снаружи.

*Энергия в единицах табл. 9.2 есть Ѕ(v²_x+v²_y)-1/r

Глава 14

РАБОТА И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ (II)

§1. Работа

§2. Движение при наложенных связях

§3. Консерватив­ные силы

§4. Неконсерватив­ные силы

§5. Потенциалы и поля

§ 1. Работа