Feynmann 5

Мы начнем с той интегральной формулы, куда входит гра­диент. Мысль, которая содержится в ней, очень проста: раз градиент есть быстрота изменения величины поля, то интеграл от этой быстроты даст нам общее изменение поля. Пусть у нас есть скалярное поле ш(x, у, z). В двух произвольных точках (1) и (2) функция я|з имеет соответственно значения ш(l) и ш(2). [Используется такое удобное обозначение: (2) означает точку (x₂, y₂, z₂), а ш(2) это то же самое, что ш(x₂, y₂, z₂).] Если Г (гамма) — произвольная кривая, соединяющая (1) и (2) (фиг. 3.1), то справедлива

Т Е О Р Е М А 1

(3.1)

Интеграл, стоящий здесь, это криволинейный интеграл от (1) до (2) вдоль кривой Г от скалярного произведения вектора Сш) на другой вектор, ds, являющийся бесконечно малым элемен­том дуги кривой Г [направленной от (1) к (2)].

Напомним, что мы понимаем под криволинейным интегралом. Рассмотрим скалярную функцию f(x, y, z) и кривую Г, соеди­няющую две точки (1) и (2). Отметим на кривой множество то­чек и соединим их хордами, как на фиг. 3.2. Длина i-й хорды равна Ds_i,-, где i пробегает значения 1, 2, 3, .... Под криволиней­ным интегралом

подразумевается предел суммы

где f_i — значение функции где-то на i-й хорде. Предел — это то,

Фиг. 3.2. Криволинейный интег­рал есть предел суммы.

к чему стремится сумма, когда растет число хорд (разумным об­разом, чтобы даже наибольшее Ds_i®0).

В нашей теореме (3.1) интеграл означает то же самое, хоть и выглядит чуть по-иному. Вместо f стоит другой скаляр — составляющая Сш в направлении Ds. Если обозначить эту составляющую через (Сш)_t , то ясно, что

(3.2)

Интеграл в (3.1) и подразумевает сумму таких членов.

А теперь посмотрим, почему уравнение (3.1) правильно. В гл. 1 мы показали, что составляющая Сш вдоль малого сме­щения DR равна быстроте изменения ш в направлении DR. Рассмотрим хорду кривой Ds от точки (1) до точки а на фиг. 3.2. По нашему определению

(3.3)

Точно так же мы имеем

(3.4)

где, конечно, (Сш)₁ означает градиент, вычисленный на хорде Ds₁, a (Сш)₂ — градиент, вычисленный на Ds₂. Сложив (3.3) и (3.4), получим

(3.5)

Вы видите, что, продолжая прибавлять такие члены, мы полу­чаем в итоге

(3.6)

Левая часть не зависит от того, как выбирать интервалы — лишь бы точки (1) и (2) были теми же самыми, так что справа можно перейти к пределу. Так доказывается уравнение (3.1). Из нашего доказательства видно, что, подобно тому как ра­венство не зависит и от выбора точек а, b, с,..., точно так же оно не зависит от выбора самой кривой Г. Теорема верна для любой кривой, соединяющей точки (1) и (2).

Два слова об обозначениях. Не будет путаницы, если писать для удобства

(3.7)

Тогда наша теорема примет такой вид:

Т Е О Р Е М А 1

(3.8)

§ 2. Поток векторного поля

Прежде чем рассматривать следующую интегральную теоре­му — теорему о дивергенции,— хотелось бы разобраться в од­ной идее, смысл которой в случае теплового потока легко усваи­вается. Мы уже определили вектор h, представляющий коли­чество тепла, протекающего сквозь единицу площади в еди­ницу времени. Положим, что внутри тела имеется замкнутая поверхность S, ограничивающая объем V (фиг. 3.3). Нам хочется узнать, сколько тепла вытекает из этого объема. Мы это можем, конечно, определить, рассчитав общий тепловой поток через поверхность S.

Обозначим через da площадь элемента поверхности. Этот символ заменяет двумерный дифференциал. Если, например, элемент окажется в плоскости ху, то

da = dxdy.

Позже мы будем иметь дело с интегралами по объему, и тогда будет удобно рассматривать элемент объема в виде малого куби­ка и обозначать его dV, подразумевая, что

dV= dxdydz.

Кое-кто пишет и d²a вместо da, чтобы напомнить самому себе, что это выражение второй степени; вместо dV пишут также d³V. Мы будем пользоваться более простыми обозначениями, а вы уж постарайтесь не забывать, что у площадей бывают два измерения, у объемов — три.

Фиг. 3.3. Замкнутая поверх­ность S, ограничивающая объем V.

Единичный вектор n — внешняя нор­маль к элементу поверхности da, a h — вектор теплового потопа сквозь элемент поверхности.

Поток тепла через элемент поверхности da равен произведе­нию площади на составляющую h, перпендикулярную к da. Мы уже определяли n — единичный вектор, направленный наружу перпендикулярно к поверхности (см. фиг. 3.3). Искомая составляющая h равна

h_n=h·n, (3.9)

и тогда поток тепла сквозь da равен

h·nda. (3.10)

А весь поток тепла через произвольную поверхность получается суммированием вкладов от всех элементов поверхности. Иными словами, (3.10) интегрируется по всей поверхности

(3.11)