Читаем Feynmann 5 полностью

Величины Cx(1) и Сх(2), вообще говоря, слегка отличаются. Ес­ли Dх достаточно мало, то можно написать

Существуют, конечно, и другие члены, но в них входит (Dx)2 и высшие степени Dx, и в пределе малых Dx ими запросто можно пренебречь. Значит, поток сквозь грань 2 равен

Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем

Производную нужно вычислять в центре грани 1, т. е. в точке [x, y+(Dy/2), z+(Dz/2)]. Но если куб очень маленький, мы сде­лаем пренебрежимую ошибку, если вычислим ее в вершине (х, у, z).

Повторяя те же рассуждения с каждой парой граней, мы получаем

а

А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем, что

Сумма производных в скобках как раз есть С·С, a DxDyDz=DV (объем куба). Таким образом, мы можем утверждать, что для бесконечно малого куба

(3.17)

Мы показали, что поток наружу с поверхности бесконечно ма­лого куба равен произведению дивергенции вектора на объем куба. Теперь мы понимаем «смысл» понятия дивергенции век­тора. Дивергенция вектора в точке Р — это поток С («исте­чение» С наружу) на единицу объема, взятого в окрестности Р. Мы связали дивергенцию С с потоком С из бесконечно малого объема. Для любого конечного объема можно теперь использовать факт, доказанный выше, что суммарный поток из объема есть сумма потоков из отдельных его частей. Иначе говоря, мы можем проинтегрировать дивергенцию по всему объему. Это приводит нас к теореме, согласно которой интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замк­нутой поверхности может быть представлен также в виде ин­теграла от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри поверхности. Теорему эту называют теоремой Гаусса.

ТЕОРЕМА ГАУССА

(3.18)

где S произвольная замкнутая поверхность, V объем внутри нее.

§ 4, Теплопроводность; уравнение диффузии

Чтобы привыкнуть к теореме, разберем на примере, как ее применяют. Обратимся опять к распространению тепла, скажем в металле, рассмотрим совсем простой случай: все тепло было подведено к телу заранее, а теперь тело остывает. Источников теп­ла нет, так что количество тепла сохраняется. Сколько же тогда тепла должно оказаться внутри некоего определенного объема в какой-то момент времени? Оно должно уменьшаться как раз на то количество, которое уходит с поверхности объема. Если этот объем — маленький кубик, то,

следуя формуле (3.17), мож­но написать

(3.19)

Но это должно быть равно скорости потери тепла внутренностью куба. Если q количество тепла в единице объема, то весь

запас тепла в кубе qDV, а скорость потерь равна

(3.20)

Сравнивая (3.19) с (3.20), мы видим, что

(3.21)

Внимательно вглядитесь в форму этого уравнения; эта форма часто встречается в физике. Она выражает закон сохра­нения, в данном случае закон сохранения тепла. В уравнении (3.13) тот же физический факт был выражен иначе. Там была интегральная форма уравнения сохранения, а здесь у нас — дифференциальная форма.

Уравнение (3.21) мы получили, применив формулу (3.13) к бесконечно малому кубу. Можно пойти и по другому пути. Для большого объема F, ограниченного поверхностью S, за­кон Гаусса утверждает, что

(3.22)

Интеграл в правой части можно, используя (3.21), преобразо­вать как раз к виду -dQ/dt, и тогда получится формула (3.13).

Теперь рассмотрим другой случай. Представим, что в блоке вещества имеется маленькая дырочка, а в ней идет химическая реакция, генерирующая тепло. Можно еще представить себе, что к маленькому сопротивлению внутри блока подведены про­волочки, нагревающие его электрическим током. Предположим, что тепло создается практически в одной точке, a W представ­ляет собой энергию, возникающую в этой точке за секунду. В остальной же части объема пусть тепло сохраняется и, кро­ме того, пусть генерация тепла началась так давно, что сейчас температура уже нигде больше не изменяется. Вопрос состоит в следующем: как выглядит вектор потока тепла h в разных точках металла? Сколько тепла перетекает через каждую точку?

Мы знаем, что если мы будем интегрировать нормальную составляющую h по замкнутой поверхности, окружающей источ­ник, то всегда получится W. Все тепло, которое генерируется в точечном источнике, должно протечь через поверхность, ибо предполагается, что поток постоянен. Перед нами трудная задача отыскания такого векторного поля, которое после ин­тегрирования по произвольной поверхности всегда давало бы W. Но мы сравнительно легко можем найти это поле, выбрав поверхность специального вида. Возьмем сферу радиусом R с центром в источнике и предположим, что поток тепла радиален (фиг. 3.6). Интуиция нам подсказывает, что h должен быть направлен по радиусу, если блок вещества велик и мы не приближаемся слишком близко к его границам; кроме того, вели­чина h во всех точках сферы должна быть одинакова.

Фиг. 3.6. В области близ точеч­ного источника поток тепла на­правлен по радиусу наружу.

Перейти на страницу:

Похожие книги

Солнце, Луна, Марс
Солнце, Луна, Марс

Известный телеведущий Игорь Прокопенко рассказывает в этой книге о главных тайнах Солнца, Луны и Марса – самых важных для нашей планеты космических объектов. Эти три небесных тела словно меняются ролями, они то напоминают, что могли быть источниками жизни, и обещают новый дом в далеком будущем, то угрожают уничтожить Землю буквально в этот момент и всего за несколько секунд.Какая связь между природными катаклизмами и вспышками солнечной активности? Есть ли возможность утихомирить разбушевавшееся светило? Как связаны знаменитые пирамиды Гизы и такие же постройки на Марсе? Откуда на самом деле на Землю была принесена жизнь? Есть ли в наших генах марсианский след? Что хранится в архивах космических спецслужб? Что остановило американцев в их успешном поначалу освоении Луны? Почему Марс так упорно противится исследованиям? Стоит ли землянам ждать возмездия за свое любопытство?Сможет ли выжить сообщество планет? Ведь Земля – настоящая дочь Солнца и сестра Марса, вместе со своим спутником – Луной.В этой книге вас ждут различные версии ученых, которые пытаются раскрыть тайны возникновения и развития цивилизаций.

Игорь Станиславович Прокопенко

Альтернативные науки и научные теории / Физика / Образование и наука
Абсолютный минимум
Абсолютный минимум

Физика — это сложнейшая, комплексная наука, она насколько сложна, настолько и увлекательна. Если отбросить математическую составляющую, физика сразу становится доступной любому человеку, обладающему любопытством и воображением. Мы легко поймём концепцию теории гравитации, обойдясь без сложных математических уравнений. Поэтому всем, кто задумывается о том, что делает ягоды черники синими, а клубники — красными; кто сомневается, что звук распространяется в виде волн; кто интересуется, почему поведение света так отличается от любого другого явления во Вселенной, нужно понять, что всё дело — в квантовой физике. Эта книга представляет (и демистифицирует) для обычных людей волшебный мир квантовой науки, как ни одна другая книга. Она рассказывает о базовых научных понятиях, от световых частиц до состояний материи и причинах негативного влияния парниковых газов, раскрывая каждую тему без использования специфической научной терминологии — примерами из обычной повседневной жизни. Безусловно, книга по квантовой физике не может обойтись без минимального набора формул и уравнений, но это необходимый минимум, понятный большинству читателей. По мнению автора, книга, популяризирующая науку, должна быть доступной, но не опускаться до уровня читателя, а поднимать и развивать его интеллект и общий культурный уровень. Написанная в лучших традициях Стивена Хокинга и Льюиса Томаса, книга популяризирует увлекательные открытия из области квантовой физики и химии, сочетая представления и суждения современных учёных с яркими и наглядными примерами из повседневной жизни.

Майкл Файер

Зарубежная образовательная литература, зарубежная прикладная, научно-популярная литература / Физика / Научпоп / Образование и наука / Документальное