Feynmann 6

т. е. расстояние от начала координат. Чтобы узнать, какие функ­ции ш (r) удовлетворяют волновому уравнению, нам понадо­бится выражение для лапласиана ш. Значит, нам нужно найти сумму вторых производных ш по х, по у и по z. Через ш'(r) мы обозначим первую производную i|) по r, а через ш"(r) — вторую. Сначала найдем производные по х. Первая производная равна

Вторая производная по х равна

Частные производные r по x можно получить из

так что вторая производная ш no x принимает вид

(20.28)

Точно так же и

(20.29)

(20.30)

Лапласиан равен сумме этих трех производных. Вспоминая,

что x²+y²+z²=r², получаем

(20.31)

Часто бывает удобнее записывать уравнение в следующей

форме:

(20.32)

Проделав дифференцирование, указанное в (20.32), вы убеди­тесь, что правая часть здесь та же, что и в (20.31).

Если мы хотим рассматривать сферически симметричные поля, которые могут распространяться как сферические волны, то ве­личины, описывающие поля, должны быть функцией как r, так и t. Предположим, что нам нужно знать, какие функции ш(r, t) являются решениями трехмерного волнового уравне­ния

(20.33)

Поскольку ш(г, t) зависит от пространственных координат только через г, то в качестве лапласиана можно использовать выражение (20.32). Но для точности, поскольку ш зависит также и от t, нужно дифференцирование по r записывать в виде частной производной. Волновое уравнение обращается в

Его и предстоит нам решать. Оно выглядит сложнее, чем в случае плоских волн. Но заметьте, что если умножить это урав­нение на r, то получится

(20.34)

Это уравнение говорит нам, что функция rш удовлетворяет одномерному волновому уравнению по переменной r. Исполь­зуя часто подчеркивавшийся нами общий принцип, что у одних и тех же уравнений и решения одни и те же, мы приходим к выводу, что если rш окажется функцией одного только (r-ct), то оно явится решением уравнения (20.34). Итак, мы обнаружи­ваем, что сферические волны обязаны иметь вид

Или, как мы видели раньше, можно в равной степени считать rш имеющим форму

Деля на r, находим, что характеризующая поле величина ш (чем бы она ни была) имеет вид

(20.35)

Такая функция представляет сферическую волну общего вида, распространяющуюся от начала координат со скоростью с. Если на минуту забыть об r в знаменателе, то амплитуда волны как функция расстояния от начала координат в каждый данный момент обладает определенной формой, которая рас­пространяется со скоростью с. Однако r в знаменателе говорит нам, что по мере того, как волна распространяется, ее амплиту­да убывает пропорционально 1/r. Иными словами, в отличие от плоской волны, амплитуда которой остается при движении все время одной и той же, амплитуда сферической волны бес­прерывно спадает (фиг. 20.6).

Фиг. 20.6. Сферическая волна ш=f(t-r/с)/r.

а — зависимость ш от r при t=t_l и ma же волна в более поздний момент времени t₂; б — зависимость ш от t при r=r₁ и та же самая волна на расстоянии r₂.

Этот факт легко понять из про­стых физических соображений.

Мы знаем, что плотность энергии в волне зависит от квадрата амплитуды волны. По мере того как волна разбегается, ее энергия расплывается на все большую и большую площадь, пропорциональную квадрату радиуса волны. Если полная энер­гия сохраняется, плотность энергии должна убывать как 1/r², а амплитуда — как 1/r. Поэтому формула (20.35) для сфери­ческой волны вполне «разумна».

Мы игнорировали другое возможное решение одномерного волнового уравнения

или

Это тоже сферическая волна, но бегущая внутрь, от больших r к началу координат.

Тем самым мы делаем некоторое специальное предположе­ние. Мы утверждаем (без какого-либо доказательства), что волны, создаваемые источником, всегда бегут только от него. Поскольку мы знаем, что волны вызываются движением заря­дов, мы настраиваемся на то, что волны бегут от зарядов. Было бы довольно странно представлять, что прежде чем заряды были приведены в движение, сферическая волна уже вышла из бесконечности и прибыла к зарядам как раз в тот момент, когда они начали шевелиться. Такое решение возможно, но опыт по­казывает, что, когда заряды ускоряются, волны распростра­няются от зарядов, а не к ним. Хоть уравнения Максвелла предоставляют обеим волнам равные возможности, мы привле­каем добавочный факт, основанный на опыте, что «физическим смыслом» обладает только расходящаяся волна.