Feynmann 6a

Так что сохранение заряда предполагает, что градиент тока про­порционален скорости изменения напряжения во времени. Уравнения (24.1) и (24.2) — это основные уравнения линии передачи. При желании их можно видоизменить так, чтобы они учитывали сопротивление проводников или утечку зарядов че­рез изоляцию между проводниками, но пока нам достаточно са­мого простого примера.

Оба уравнения передающей линии можно объединить, про­дифференцировав первое по t, а второе по x; и исключив V или I. Получится либо

(24.3)

либо

(24.4)

Мы снова узнаем волновое уравнение по х. В однородной передающей линии напряжение (и ток) распространяется вдоль линии как волна. Напряжение вдоль линии будет следовать за­кону V(x, t)=f(x-vt) или V(x, t)=g(x+vt) или их сумме. А что такое здесь v? Мы знаем, что коэффициент при d²/dt² — это просто 1/v². так что

(24.5)

Покажите самостоятельно, что напряжение для каждой волны в линии пропорционально току этой волны и что коэффи­циент пропорциональности — это просто характеристический импеданс z₀. Обозначив через V₊ и I₊ напряжение и ток для вол­ны, бегущей в направлении +x, вы должны будете получить

(24.6)

Равным образом, для волны, бегущей в направлении -х, полу­чится

Характеристический импеданс, как мы уже видели из наших уравнений для фильтра, дается выражением

(24.7)

и поэтому есть чистое сопротивление.

Чтобы найти скорость распространения v и характеристиче­ский импеданс z₀ передающей линии, нужно знать индуктив­ность и емкость единицы длины линии. Для коаксиального ка­беля их легко подсчитать. Поглядим, как это делается. При рас­чете индуктивности мы будем следовать идеям, изложенным в гл. 17, § 8, и положим ¹/₂ LI² равным магнитной энергии, в свою очередь получаемой интегрированием e₀с²B²/2 по объему. Пусть по внутреннему проводнику течет ток I; тогда мы знаем, что B=I/2pe₀с²r, где r — расстояние от оси. Беря в качестве эле­мента объема цилиндрический слой толщины dr и длины l,

получаем для магнитной энергии

где а и b — радиусы внутреннего и внешнего проводников, Интегрируя, получаем

(24.8)

Приравниваем эту энергию к ¹I₂LI² и находим

(24.9)

Как и следовало ожидать, L пропорционально длине l линии, поэтому L₀ (индуктивность на единицу длины) равна

(24.10)

Мы уже рассчитывали заряд на цилиндрическом конден­саторе [гл. 12, § 2 (вып. 5)]. Деля теперь этот заряд на раз­ность потенциалов, получаем

Емкость же на единицу длины С₀— это С/l. Сопоставляя этот результат с (24.10), мы убеждаемся, что произведение L₀C₀ равно просто 1/с², т. е. v=1ЦL₀C₀ равно с. Волна бежит по линии со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот результат зави­сит от сделанных предположений: а) что в промежутке между проводниками нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; б) что все токи текут только по поверхности проводников (как это бывает в идеальных проводниках). Позже мы увидим, что на высоких частотах все токи распределяются на поверхности хоро­ших проводников, словно они идеальные проводники, так что это предположение правильно.

Любопытно, что в этих двух предположениях произведение L₀C₀ равно 1/с² для любой параллельной пары проводников, да­же в том случае, если, скажем, внутренний шестигранный про­водник тянется как-то вдоль эллиптического внешнего. Пока сечение постоянно и между проводниками нет ничего, волны рас­пространяются со скоростью света.

Подобных общих утверждений по поводу характеристиче­ского импеданса сделать нельзя. Для коаксиальной линии он равен

(24.11)

Множитель 1/e₀c имеет размерность сопротивления и равен 120p ом. Геометрический фактор In(b/a) только логарифмически зависит от размеров, так что коаксиальная линия (и большинст­во других линий), как правило, обладает характеристическим импедансом порядка 50 ом или что-то около этого, до нескольких сот ом.

§ 2. Прямоугольный волновод

То, о чем мы сейчас будем говорить, на первый взгляд ка­жется поразительным явлением: если из коаксиального кабеля убрать внутреннюю жилу, он все равно будет проводить элект­ромагнитную энергию. Иными словами, на достаточно высокой частоте полая труба действует ничуть не хуже, чем труба, внут­ри которой имеется провод. Связано это с другим таинственным явлением, о котором мы уже знаем,— на высоких частотах ре­зонансный контур (конденсатор с катушкой) можно заменить простой банкой.