Feynmann 7

Если на электрон не действует никакая восстанавливающая сила, но сопротивление его движению все же остается, то урав­нение движения электрона отличается от (32.1) только отсут­ствием члена w²₀х. Так что единственное, что нам нужно сделать,— это положить w²₀=0 во всей остальной части наших выводов. Но есть еще одно отличие. В диэлектриках мы должны различать среднее и локальное поля и вот почему: в изоляторе каждый из диполей занимает фиксированное положение по отношению к другим диполям. Но в металле из-за того, что электроны проводимости движутся и меняют свое место, поле, действующее на них, в среднем как раз равно среднему полю Е. Так что по­правка, которую мы сделали к формуле (32.5), не годится, т. е. применение формулы (32.28) для электронов проводимости недопустимо. Следовательно, выражение для показателя пре­ломления в металле должно выглядеть подобно выражению (32.27), в котором следует положить w₀=0, именно:

Это только вклад от электронов проводимости, которые, как мы думаем, играют в металлах главную роль.

Но теперь мы даже знаем, какой нам взять величину g, ибо она связана с проводимостью металла. В гл. 43 (вып. 4) мы обсудили связь проводимости металлов с диффузией свобод­ных электронов в кристалле. Электроны движутся по ломаному пути от одного соударения до другого, а между этими толчками они летят свободно, за исключением ускорения из-за какого-то среднего электрического поля (фиг. 32.2).

Фиг. 32.2. Движение свободного электрона.

Там же, в гл. 43 (вып. 4), мы нашли, что средняя скорость дрейфа равна просто произведению ускорения на среднее время между соударе­ниями t. Ускорение равно q_eE/m, так что

v_дрейф=(q_eE/m)t. (32.39)

В этой формуле поле Е считается постоянным, так что скорость v_дрейф тоже постоянна. Поскольку в среднем ускорение отсут­ствует, сила торможения равна приложенной силе. Мы опреде­лили g через силу торможения, равную gmv [см. (32.1)], или q_eE, поэтому получается, что

g=1/t (32.40)

Несмотря на то что мы не можем с легкостью измерять непо­средственно t, можно определять его, измеряя проводимость металла. Экспериментально обнаружено, что электрическое поле Е порождает в металлах ток с плотностью j, пропорцио­нальной Е (для изотропного материала, конечно):

причем постоянная пропорциональности s называется прово­димостью.

В точности то же самое мы ожидаем из выражения (32.39),

если положить

j=Nq_ev_дрейф,

тогда

Таким образом, t, а следовательно, и g могут быть связаны с наблюдаемой электрической проводимостью. Используя (32.40] и (32.41), можно переписать нашу формулу (32.38) для по­казателя преломления в виде

где

Это и есть известная формула для показателя преломления в металлах.

§ 7. Низкочастотное и высокочастотное приближения; глубина скин-слоя и плазменная частота

Наш результат для показателя преломления в металлах —формула (32.42) — предсказывает для распространения волн с разными частотами совершенно различные характеристики. Прежде всего давайте посмотрим, что получается при низких частотах. Если величина w достаточно мала, то (32.42) можно приближенно записать в виде

Возведением в квадрат можно проверить, что

таким образом, для низких частот

Вещественная и мнимая части n имеют одну и ту же величину. С такой большой мнимой частью n волны в металлах затухают очень быст­ро. В соответствии с выражением (32.36) амплитуда волны, идущей в направлении оси z, уменьшается как

Запишем это в виде

е^-z/d, (32.47)

где d — это то расстояние, на котором амплитуда волны умень­шается в е=2,72 раза, т. е. приблизительно в 3 раза. Ампли­туда такой волны, как функция от z, показана на фиг. 32.3.

Фиг. 32.3. Амплитуда попе­речной электромагнитной вол­ны в металле как функция расстояния.

Поскольку электромагнитные волны проникают в глубь металла только на это расстояние, величина d называется глубиной скин-слоя и определяется выражением

Но что все-таки мы понимаем под «низкими» частотами? Взглянув на уравнение (32.42), мы видим, что его можно приб­лиженно заменить уравнением (32.44), только когда wt много меньше единицы и когда we₀/s также много меньше единицы, т. е. наше низкочастотное приближение применимо при

w<<1/t

и

w<0. (32.49)

Давайте посмотрим, какие частоты соответствуют этому приближению для такого типичного металла, как медь. Для вычисления t воспользуемся уравнением (32.43), а для вычис­ления s/e₀ — известными значениями s и e₀. Справочник дает нам такие данные:

s=5,76·10⁷ (ом·м)^-1,

Атомный вес = 63,5 г,

Плотность = 8,9 г/см³,

Число Авогадро=6,02·10²³.

Если мы предположим, что на каждый атом приходится по од­ному свободному электрону, то число электронов в кубическом метре будет равно

N=8,5·10²⁸ м^-3.

Используя далее

q_e=1,6·10^-19 кулон,

e₀=8,85·10^-12 ф/м,

m=9,11·10^-31 кг,