Feynmann 7

Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего неизвестно, и посмотрим, что можно из него вывести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость yz совпадала с поверхностью раздела, а плоскость ху была перпендикулярна фронту волны (фиг. 33.3).

Фиг. 33.3. Векторы, распространения k, k' и k" для падающей, отраженной и прелом­ленной волн.

Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде

Поскольку вектор k перпендикулярен оси z, то

k·r=k_xx+k_yy. (33.12) Отраженную волну мы запишем как

так что ее частота равна w', волновое число k', а амплитуда Е'₀. (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора k в отра­женной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим пред­полагать даже это. Пусть это все получится само собой из мате­матического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:

Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотноше­ние (33.9), так что для каждой из волн

Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозна­чим через n₁ и n₂, то из уравнения (33.10) получится

Поскольку отраженная волна находится в том же ма­териале, то

в то время как для преломленной волны

§ 3. Граничные условия

Все что мы делали до сих пор, было описанием трех волн; теперь нам предстоит выразить параметры отраженной и пре­ломленной волн через параметры падающей. Как это сделать?

Три описанные нами волны удов­летворяют уравнениям Максвелла в однородном материале, но, кро­ме того, уравнения Максвелла должны удовлетворяться и на границе между двумя материалами. Так что нам нужно сейчас посмотреть — что же происходит на самой границе. Мы най­дем, что уравнения Максвелла требуют, чтобы три волны опре­деленным образом согласовывались друг с другом.

Вот один из примеров того, что мы имеем в виду. Составляю­щая по оси у электрического поля Е должна быть одинакова по обеим сторонам границы. Это требуется законом Фарадея:

СXE=дB/дt, (33.19)

в чем нетрудно убедиться. Рассмотрим для этого маленькую петлю Г, которая с обеих сторон охватывает границу (фиг. 33.4).

Фиг. 33.4. Граничное условие E_y2=E_y1, полученное из равенства

Согласно уравнению (33.19), криволинейный интеграл от Е по петле Г равен скорости изменения потока В через эту петлю:

Вообразите теперь, что прямоугольник очень узок, так что он замыкается в бесконечно малой области. Если при этом поле В остается конечным (нет никаких причин ему быть бесконечным!), то поток через эту область будет равен нулю. Таким образом, контурный интеграл от Е должен быть нулем. Если y-компоненты поля на двух сторонах границы равны Е_y1 и Е_y2, а длина прямоугольника равна l, то мы получаем

E_y1l-E_y2l=0

или

Е_у1=Е_у2, (33.20)

как мы и ожидали. Это условие дает нам одно соотношение между полями в трех волнах.

Процедура нахождения следствий уравнений Максвелла на границе называется «определением граничных условий». Обычно она заключается в нахождении стольких уравнений типа (33.20), сколько возможно, и выполняется она с помощью рассмотрении маленьких прямоугольников, подобных Г на фиг. 33.4, или маленьких гауссовых поверхностей, охватываю­щих границу с двух сторон. Хотя это совершенно правильный способ рассуждений, он создает впечатление, что в различных физических задачах с границами нужно обращаться по-разному.

Как, например, в задаче о тепловом потоке через поверх­ность определить температуру на обеих прилежащих к ней сторонах? Конечно, вы вправе утверждать, что тепло, прите­кающее к границе с одной стороны, должно быть равно теплу, утекающему от нее с другой. Обычно это возможно и, вообще говоря, очень полезно находить граничные условия из такого рода физических рассуждений. Однако могут встретиться случаи, когда при работе над какой-то проблемой вам известны лишь уравнения и вы не можете непосредственно увидеть, какие же физические аргументы можно использовать. Так что, хотя в данный момент мы заинтересованы только в электромаг­нитных явлениях, где можно привести физические аргументы, я хочу научить вас методу, который можно применить в любой задаче: общему методу нахождения непосредственно из диффе­ренциальных уравнений того, что происходит на границе.

Начнем с выписывания всех уравнений Максвелла для ди­электрика, но на этот раз скрупулезно выписывая все компо­ненты: